Criteri M de Weierstrass

El criteri M de Weierstrass, de vegades anomenat prova M de Weierstrass és, en matemàtiques, una condició suficient per a assegurar que una sèrie $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ de funcions definides en un conjunt $A$ és uniformement convergent. No cal que $A$ sigui un espai topològic ni que les funcions siguin contínues, encara que aquest es el cas d'utilització més freqüent.

Enunciat

Criteri M de Weierstrass . Suposem que $\{f_n\}$ és una successió de funcions reals o complexes definides en un conjunt $A$ i que existeix una successió de nombres positius $M_n$ de manera que

$\mathrm{\forall }n\ge 1,\mathrm{\forall }x\in A:|f_n(x)|\le M_n,$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n<\mathrm{\infty }$.

Aleshores la sèrie

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$

convergeix uniformement a $A$.

Comentaris

• En les condicions de l'enunciat es té també que la sèrie $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ és absolutament convergent. Això es dedueix del mateix enunciat.
• El nom en alemany d'aquest enunciat és Weierstraßsches Majorantenkriterium, i aquest sembla l'origen de la lletra M que apareix en el nom que s'usa en la majoria de llengües. Per això també tindria sentit d'anomenar-lo criteri de la majorant de Weierstrass.

Referències

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre