Derivada aritmètica

En la teoria de nombres, la derivada aritmètica, o derivada numèrica, és una funció definida per a enters, basada en la seva descomposició en factors primers, per analogia amb la regla de producte de la derivada d'una funció que es fa servir en l'anàlisi.

Definició

Per a nombres naturals es defineix de la manera següent:

• $p^{\prime }=1$ per a qualsevol nombre primer $p$.
• $(ab{)}^{\prime }=a^{\prime }b+a{b}^{\prime }$ per a qualsevol $a\text{<mo>,</mo>}b\in \mathbb{N}$ (Regla del producte).

Per tal que coincideixi amb la regla del producte $1^{\prime }$ es defineix com $0$, tal com és $0^{\prime }$. Explícitament, suposant que

$x=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}\text{<mo>,</mo>}$

on $p_1,\dots ,p_k$ són nombres primers diferents i $e_1,\dots ,e_k$ són enters positius. Llavors

$x^{\prime }=\sum _{i=1}^k{e}_i{p}_1^{e_1}\cdots p_i^{e_i-1}\cdots p_k^{e_k}=\sum _{i=1}^k\frac{e_i}{p_i}x.$

La derivada aritmètica també compleix la regla de la potència (per a nombres primers):

$(p^a{)}^{\prime }=a{p}^{a-1}\text{<mo>,</mo>}$

on $p$ és primer i $a$ és un enter positiu. Per exemple

$\begin{array}{cc}81^{\prime }=(3^4{)}^{\prime }& =(9\cdot 9{)}^{\prime }=9^{\prime }\cdot 9+9\cdot 9^{\prime }=2[9(3\cdot 3{)}^{\prime }]\\ & =2[9(3^{\prime }\cdot 3+3\cdot 3^{\prime })]=2[9\cdot 6]=108=4\cdot 3^3.\end{array}$

La successió de derivades aritmètiques per k = 0, 1, 2... comença Plantilla:OEIS:

0, 0, 1, 1, 4, 1, 5, 1, 12, 6, 7, 1, 16, 1, 9, ....

E.j. Barbeau va ser el primer a formalitzar aquesta definició. L'estenia a tots els enters demostrant que $(-x{)}^{\prime }=-x^{\prime }$ defineix unívocament la derivada sobre els enters. Barbeau també l'estenia a nombres racionals. Victor Ufnarovski i Bo Åhlander l'estenien a certs irrationals. En aquestes ampliacions, la fórmula de damunt encara s'aplica, però els exponents $e_i$ es permet que siguin nombres racionals arbitraris.

Rellevància per a la teoria de nombres

Ufnarovski i Åhlander han detallat la connexió de la funció a conjectures teòriques de nombre famoses com la conjectura dels nombres primers bessons, la conjectura de nombres primers trigèmins, i la Conjectura de Goldbach. Per exemple, la conjectura de Goldbach implicaria, per a cada k > 1 existeix un n de manera que nPlantilla:' = 2k. La conjectura dels nombres primers bessons implicaria que hi hagi una quantitat infinita de k per als quals k'' = 1.

Referències

• E. J. Barbeau, "Remark on an arithmetic derivative", Canadian Mathematical Bulletin Vol. 4 (1961), 117–122.
• Victor Ufnarovski and Bo Åhlander, "How to Differentiate a Number", Journal of Integer Sequences Vol. 6 (2003), Article 03.3.4.
• Arithmetic Derivative Plantilla:Webarchive, Planet Math, accessed 04:15, 9 April 2008 (UTC)
• L. Westrick. Investigations of the Number Derivative.
• Peterson, I. Math Trek: Deriving the Structure of Numbers.
• Stay, M. Generalized Number Derivatives.