Desigualtat d'Askey-Gasper

Richard Askey l'any 1977.

En matemàtiques, la desigualtat d'Askey-Gasper és una desigualtat per als polinomis de Jacobi demostrada per Askey i Gasper (1976) i utilitzada en la prova de la conjectura de Bieberbach.

Definició

Indica que si Plantilla:Math, i Plantilla:Math llavors

$\sum _{k=0}^n\frac{P_k^{(\alpha ,\beta )}(x)}{P_k^{(\beta ,\alpha )}(1)}\ge 0$

on

$P_k^{(\alpha ,\beta )}(x)$

és un polinomi de Jacobi.

El cas quan Plantilla:Math també es pot escriure com

${}_3{F}_2(-n,n+\alpha +2,\frac{1}{2}(\alpha +1);\frac{1}{2}(\alpha +3),\alpha +1;t)>0,0\le t<1,\alpha >-1.$

En aquesta forma, amb Plantilla:Mvar com un nombre enter no-negatiu, Louis de Branges va utilitzar la desigualtat en la seva prova de la conjectura de Bieberbach.

Prova

Ekhad (1993) va donar una petita prova d'aquesta desigualtat, combinant la identitat

$\begin{array}{cc}\frac{(\alpha +2{)}_n}{n!}& \times {}_3{F}_2(-n,n+\alpha +2,\frac{1}{2}(\alpha +1);\frac{1}{2}(\alpha +3),\alpha +1;t)=\\ & =\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}_j{(\frac{\alpha }{2}+1)}_{n-j}{(\frac{\alpha }{2}+\frac{3}{2})}_{n-2j}(\alpha +1{)}_{n-2j}}{j!{(\frac{\alpha }{2}+\frac{3}{2})}_{n-j}{(\frac{\alpha }{2}+\frac{1}{2})}_{n-2j}(n-2j)!}\times {}_3{F}_2(-n+2j,n-2j+\alpha +1,\frac{1}{2}(\alpha +1);\frac{1}{2}(\alpha +2),\alpha +1;t)\end{array}$

amb la desigualtat de Clausen.

Generalitzacions

Gasper & Rahman (2004) dona algunes generalitzacions de la desigualtat d'Askey-Gasper a sèries hipergeomètriques bàsiques.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• Desigualtats de Turán