Desigualtat de Landau-Kolmogorov

En matemàtiques, la desigualtat de Landau-Kolmogorov, anomenada així pels matemàtics Edmund Landau i Andrey Kolmogorov, és la següent família de desigualtats d'interpolació entre diferents derivades d'una funció f definida en un subconjunt T dels nombres reals:

$\Vert f^{(k)}{\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}(T)}\le C(n,k,T){\Vert f{\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}(T)}}^{1-k/n}{\Vert f^{(n)}{\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}(T)}}^{k/n}\text{ per a }1\le k<n.$

En l'eix real

Per a k = 1, n = 2, T=R la desigualtat va ser provada per primera vegada per Edmund Landau amb la constant aguda C(2, 1, R) = 2. Després de les contribucions de Jacques Hadamard i Georgiy Shilov, Andrey Kolmogorov va trobar constants i arbitràries n, k:

$C(n,k,ℝ)=a_{n-k}{a}_n^{-1+k/n},$

on a_n és la constant de Favard.

En el semieix

Després del treball de Matorin et al, les funcions extremistes van ser trobades per Isaac Schoenberg, tanmateix, encara es desconeixen formes explícites per a les constants agudes.

Generalitzacions

Hi ha moltes generalitzacions, que són de la forma

$\Vert f^{(k)}{\Vert }_{L_q(T)}\le K\cdot \Vert f{\Vert }_{L_p(T)}^{\alpha }\cdot \Vert f^{(n)}{\Vert }_{L_r(T)}^{1-\alpha }\text{ per a }1\le k<n.$

Aquí les tres normes poden ser diferents entre elles (de L₁ fins a L_∞, amb p=q=r=∞ en el cas clàssic) i T pot ser l'eix real, semi-eix o un segment tancat.

La desigualtat de Kallman-Rota generalitza les desigualtats de Landau-Kolmogorov des de l'operador derivat fins a contraccions més generals en els espais de Banach.