Desigualtat de Màrkov

La desigualtat de Màrkov en teoria de probabilitat proporciona una fita superior per a la probabilitat que una funció no negativa d'una variable aleatòria sigui major o igual que una constant positiva. El seu nom li ve del matemàtic rus Andrei Màrkov. La desigualtat de Màrkov relaciona les probabilitats amb l'esperança matemàtica i proporciona cotes útils-encara que habitualment poc ajustades-per a la funció de distribució d'una variable aleatòria.

Teorema

La desigualtat de Màrkov afirma que si X és una variable aleatòria qualsevol i a > 0, llavors

$\text{Pr}(|X|\ge a)\le \frac{\text{E}(|X|)}{a}.$

Prova

Per a qualsevol succés A, sigui I_A la variable aleatòria indicadora d'A, és a dir, I_A = 1 si ocorre A i és 0 en el cas contrari. Llavors

$a{I}_{(X\ge a)}\le X.$

Per tant

$\mathrm{E}(a{I}_{(|X|\ge a)})\le \mathrm{E}(|X|).$

Ara, noti's que el costat esquerre d'aquesta desigualtat coincideix amb

$a\mathrm{E}(I_{(|X|\ge a)})=a\mathrm{Pr}(|X|\ge a).$

Per tant, tenim

$a\mathrm{Pr}(|X|\ge a)\le \mathrm{E}(|X|)$

i com a > 0, es poden dividir dos costats entre a.

Prova alternativa

Una prova més formal, relacionada amb l'anàlisi real, és la següent:

$\mathrm{Pr}(|X|\ge a)=\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{|x|}{a}f(x)dx\le \frac{1}{a}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|x|f(x)dx=\frac{\mathrm{E}(|X|)}{a}$

A la introducció de $\frac{|x|}{a}$, noti's que, ja que estem considerant la variable aleatòria només en els seus valors iguals o majors a $a$, $|X|\ge a$ i, per tant, $\frac{|X|}{a}\ge 1$, de manera que en multiplicar $f(x)dx$ per alguna cosa més gran a un serà igual o més gran. La segona desigualtat ve d'afegir la suma $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{a}{\int }}|x|f(x)dx$, que sempre serà positiva ja que s'integra una cosa positiva com és el valor absolut (per: $f(x)$ que és positiva).

• La desigualtat de Màrkov s'utilitza per provar la desigualtat de Chebyshev.