Determinant de Hurwitz

En matemàtiques, els determinants de Hurwitz, introduïts pel matemàtic alemany Adolf Hurwitz el 1895, són una sèrie de determinants que s'utilitzen per donar un criteri a totes les arrels d'un polinomi perquè tinguin una part real negativa.

Definició

Considerem un polinomi característic $P$ en la variable $λ$ de la manera:

P (λ) = a_{0} λ^{n} + a_{1} λ^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} λ + a_{n}

on $a_{i}$ , $i = 0, 1, \dots, n$ son reals.

La matriu de Hurwitz quadrada associada a $P$ ve donada com:

H (p) = (\begin{matrix} a_{1} & a_{3} & a_{5} & \dots & \dots & \dots & 0 & 0 & 0 \\ a_{0} & a_{2} & a_{4} & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & a_{1} & a_{3} & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & a_{0} & a_{2} & ⋱ & 0 & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & 0 & a_{1} & ⋱ & a_{n} & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & a_{0} & ⋱ & a_{n - 1} & 0 & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & 0 & a_{n - 2} & a_{n} & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & a_{n - 3} & a_{n - 1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \dots & \dots & a_{n - 4} & a_{n - 2} & a_{n} \end{matrix}) .

El determinant de Hurwitz nombre $i$ és el determinant del primer menor nombre $i$ de la matriu de Hurwitz $H$ . Els tres primers determinants de Hurwitz són:

\begin{matrix} Δ_{1} (p) & = | \begin{matrix} a_{1} \end{matrix} | & = a_{1} > 0 \\ Δ_{2} (p) & = | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} \\ a_{0} & a_{2} \end{matrix} | & = a_{2} a_{1} - a_{0} a_{3} > 0 \\ Δ_{3} (p) & = | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} & a_{5} \\ a_{0} & a_{2} & a_{4} \\ 0 & a_{1} & a_{3} \end{matrix} | & = a_{3} Δ_{2} - a_{1} (a_{1} a_{4} - a_{0} a_{5}) > 0 \end{matrix}

Existeixen $n$ determinants de Hurwitz per a un polinomi característic de grau $n$ .

Referències

Plantilla:Autoritat

Determinant de Hurwitz

Definició

Referències

Menú de navegació

Cerca