Distància d'un punt a una recta

En geometria euclidiana, la distància d'un punt a una recta és la menor distància entre aquest punt i un punt de la recta. Sigui $P$ un punt, $r$ una recta i $A$ un punt d'aquesta recta: Plantilla:Equació Cal distingir entre la distància entre un punt i una recta a ${ℝ}^2$ i ${ℝ}^3$.

Dues dimensions

Suposem que volem trobar la distància entre un punt $P=(p_1,p_2)$ i una recta de la forma $r:Ax+By+C=0$. Llavors, la fórmula que permet obtenir-la és: Plantilla:Equació

Demostració

Esquema on es veu una recta $r$, un punt qualsevol de la recta $Q$, el punt utilitzat $P$ i la seva projecció $P^{\prime }$ sobre la recta.

Per la demostració utilitzarem el punt $Q=(q_1,q_2)\in r$ (pertany a $r$) i el vector normal $\overrightarrow{n}=(A,B)\perp r$.

Per la definició de producte escalar, tenim que: Plantilla:Equació I la distància compleix, com deduïm a partir de la figura, la següent relació: Plantilla:Equació Aquesta expressió pot ser molt simplificada de la següent manera: el vector $\overrightarrow{PQ}=(q_1-p_1,q_2-p_2)$, el vector normal és $\overrightarrow{n}=(A,B)$ i el mòdul del vector normal $\parallel \overrightarrow{n}\parallel =\sqrt{A^2+B^2}$. Si substituïm tot això a l'equació anterior obtenim: Plantilla:Equació Donat que el punt $Q$ pertany a la recta, tenim que: Plantilla:Equació I per tant: Plantilla:Equació

Exemple

Si tenim la recta $r:x-2y-3=0$ i volem saber a quina distància es troba el punt $P=(2,3)$, haurem d'utilitzar la fórmula de la següent manera: Plantilla:Equació

Tres dimensions

Esquema on es veu una recta $r$, un punt qualsevol de la recta $Q$, el punt utilitzat $P$, la seva projecció $P^{\prime }$ sobre la recta, i l'angle $\alpha$ que formen el vector $\overrightarrow{PQ}$ i $r$.

Suposem que volem trobar la distància entre un punt $P$ i una recta $r$. La recta ve definida per un punt que està contingut i un vector que en marca la direcció. Anomenarem $Q$ a aquest punt i $\overrightarrow{u}$ a aquest vector. Llavors, la distància entre la recta i el punt ve donada per: Plantilla:Equació

Demostració

Si $\alpha$ és l'angle entre els vectors $\overrightarrow{PQ}$ i $\overrightarrow{u}$, la distància entre el punt $P$ i la recta és: Plantilla:Equació Per altra banda, per la interpretació geomètrica del producte vectorial, tenim que: Plantilla:Equació Així doncs, barrejant les dues equacions arribem a la fórmula inicial.

Exemple

Suposem que tenim la recta $r:\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{1}$; llavors el vector és $\overrightarrow{u}=(1,2,1)$ i el punt que hi pertany és $Q=(2,3,-1)$. Si volem trobar la distància d'aquesta recta al punt $P=(1,2,3)$, hem de seguir el següent procediment. Primer de tot, cal trobar el producte vectorial entre el vector $\overrightarrow{PQ}$ i $\overrightarrow{u}$, i llavors el seu mòdul: Plantilla:Equació A més a més, el mòdul del vector director de la recta és $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{6}$. En resum, la distància entre el punt i la recta és: Plantilla:Equació

Referències

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• Distància euclidiana
• Distància d'un punt a un pla

Enllaços externs

• http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance2-Dimensional.html
• http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance3-Dimensional.html