Distribució de Marchenko-Pastur

Plantilla:Infotaula distribució de probabilitat En la teoria matemàtica de matrius aleatòries, la distribució de Marchenko-Pastur, o llei de Marchenko-Pastur, descriu el comportament asimptòtic de valors singulars de grans matrius aleatòries rectangulars. El teorema rep el nom dels matemàtics soviètics Vladimir Marchenko i Leonid Pastur que van demostrar aquest resultat el 1967.

Si $X$ denota a $m\times n$ matriu aleatòria les entrades de la qual són variables aleatòries independents distribuïdes de manera idèntica amb mitjana 0 i variància ${\sigma }^2<\mathrm{\infty }$, deixar

$Y_n=\frac{1}{n}X{X}^T$

i deixar ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m$ ser els valors propis de $Y_n$ (vistes com a variables aleatòries). Finalment, cal considerar la mesura aleatòria

${\mu }_m(A)=\frac{1}{m}\mathrm{\#}\{{\lambda }_j\in A\},A\subset ℝ.$

comptant el nombre de valors propis del subconjunt $A$ inclòs en $ℝ$.

Funció de distribució acumulada

Utilitzant la mateixa notació, la funció de distribució acumulada és

$F_{\lambda }(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\lambda -1}{\lambda }{\mathrm{𝟏}}_{x\in [0,{\lambda }_{-})}+(\frac{\lambda -1}{2\lambda }+F(x)){\mathrm{𝟏}}_{x\in [{\lambda }_{-},{\lambda }_{+})}+{\mathrm{𝟏}}_{x\in [{\lambda }_{+},\mathrm{\infty })},& \text{si }\lambda >1\\ F(x){\mathrm{𝟏}}_{x\in [{\lambda }_{-},{\lambda }_{+})}+{\mathrm{𝟏}}_{x\in [{\lambda }_{+},\mathrm{\infty })},& \text{si }0\le \lambda \le 1,\end{array}$