Distribució de Tracy-Widom

Plantilla:Infotaula distribució de probabilitat La distribució de Tracy-Widom és una distribució de probabilitat de la teoria de matrius aleatòries introduïda per Plantilla:Harvard citations. És la distribució del valor propi més gran normalitzat d'una matriu hermitiana aleatòria. La distribució es defineix com un determinant de Fredholm.

En termes pràctics, Tracy-Widom és la funció d'encreuament entre les dues fases de components acoblats feblement i fortament en un sistema. També apareix en la distribució de la longitud de la subseqüència creixent més llarga de permutacions aleatòries, com a estadístiques a gran escala a l'equació de Kardar-Parisi-Zhang, en les fluctuacions actuals del procés d'exclusió simple asimètric (ASEP) amb condició inicial de pas, i en models matemàtics simplificats del comportament del problema de subseqüència comú més llarg en entrades aleatòries. Vegeu Plantilla:Harvtxt i Plantilla:Harvtxt per provar experimentalment (i verificar) que la distribució TW descriu les fluctuacions de la interfície d'una gota (o substrat) en creixement. $F_2$ (o $F_1$) tal com prediuen Plantilla:Harvtxt.

La distribució $F_1$ és d'interès particular en l'estadística multivariant. Per a una discussió sobre la universalitat de $F_{\beta }$, $\beta =1,2,4$, vegeu Plantilla:Harvtxt. Per a una aplicació de $F_1$ per inferir l'estructura de la població a partir de dades genètiques, vegeu Plantilla:Harvtxt. L'any 2017 es va demostrar que la distribució F no és infinitament divisible.

Definició com a llei dels grans nombres

Deixar $F_{\beta }$ denoteu la funció de distribució acumulada de la distribució Tracy-Widom amb un donat $\beta$. Es pot definir com una llei dels grans nombres, similar al teorema central del límit. Normalment hi ha tres distribucions de Tracy-Widom, $F_{\beta }$, amb $\beta \in \{1,2,4\}$ . Corresponen als tres conjunts gaussians: ortogonals ($\beta =1$), unitari ($\beta =2$), i simplectiques ($\beta =4$).

En general, considereu un conjunt gaussià amb valor beta $\beta$, amb les seves entrades diagonals amb variància 1, i les entrades fora de la diagonal amb variància ${\sigma }^2$, i deixar $F_{N,\beta }(s)$ ser probabilitat que an $N\times N$ La matriu mostrada del conjunt té un valor propi màxim $\le s$, després definiu $$F_{\beta }(x)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{F}_{N,\beta }(\sigma (2N^{1/2}+N^{-1/6}x))=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }Pr(N^{1/6}({\lambda }_{max}/\sigma -2N^{1/2})\le x)$$where ${\lambda }_{\max }$ denotes the largest eigenvalue of the random matrix. The shift by $2\sigma N^{1/2}$ centers the distribution, since at the limit, the eigenvalue distribution converges to the semicircular distribution with radius $2\sigma N^{1/2}$. The multiplication by $N^{1/6}$ is used because the standard deviation of the distribution scales as $N^{-1/6}$.