Distribució gaussiana inversa generalitzada

Plantilla:Infotaula distribució de probabilitatEn teoria i estadística de probabilitats, la distribució gaussiana inversa generalitzada (GIG) és una família de tres paràmetres de distribucions de probabilitat contínues amb funció de densitat de probabilitat.

$f(x)=\frac{(a/b{)}^{p/2}}{2K_p(\sqrt{ab})}{x}^{(p-1)}{e}^{-(ax+b/x)/2},x>0,$

on K_p és una funció de Bessel modificada del segon tipus, a > 0, b > 0 i p un paràmetre real. S'utilitza àmpliament en geoestadística, lingüística estadística, finances, etc. Aquesta distribució va ser proposada per primera vegada per Étienne Halphen. Va ser redescoberta i popularitzada per Ole Barndorff-Nielsen, que la va anomenar distribució gaussiana inversa generalitzada. Les seves propietats estadístiques es discuteixen a les notes de la conferència de Bent Jørgensen.

Propietats

Per fixació $\theta =\sqrt{ab}$ i $\eta =\sqrt{b/a}$, podem expressar alternativament la distribució GIG com $f(x)=\frac{1}{2\eta K_p(\theta )}{\left(\frac{x}{\eta }\right)}^{p-1}{e}^{-\theta (x/\eta +\eta /x)/2},$on $\theta$ és el paràmetre de concentració mentre $\eta$ és el paràmetre d'escala.

Barndorff-Nielsen i Halgreen van demostrar que la distribució GIG és infinitament divisible.

Característica d'una variable aleatòria $X\sim GIG(p,a,b)$ es dona com (per a una derivació de la funció característica, vegeu materials suplementaris de)

$E(e^{itX})={\left(\frac{a}{a-2it}\right)}^{\frac{p}{2}}\frac{K_p\left(\sqrt{(a-2it)b}\right)}{K_p\left(\sqrt{ab}\right)}$

per $t\in ℝ$ on $i$ denota el nombre imaginari.