Dodecàgon

Plantilla:Infotaula polítop En geometria, un dodecàgon és un polígon de dotze costats i, per tant, de dotze vèrtexs.

El nom "dodecàgon" prové del grec antic dodecagon, de dodeca "dotze" + gon "angle".

Els angles interns d'un dodecàgon sumen 1800º.

Dodecàgon regular

Un dodecàgon és regular quan tots els seus costats i angles tenen la mateixa mesura. Els angles interiors d'un dodecàgon són de 1800º / 12 = 150º.

El dodecàgon regular és construïble amb regle i compàs.

El símbol de Schläfli és {12} i pot ser construït com un hexàgon truncat, t{6}, o un triangle doblement truncat, tt{3}.

Perímetre

El perímetre d'un dodecàgon regular de costat $L$ és

$P=12\cdot L$

O bé, en termes del circumradi $r$ és

$\begin{array}{cc}P& =24r\tan \left(\frac{\pi }{12}\right)=12r\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ & \simeq 6.21165708246r\end{array}$

Àrea

L'àrea d'un dodecàgon regular de costat $L$ és

$A=\frac{3\cdot L^2}{\tan (\frac{\pi }{12})}=L^2\cdot (6+3\sqrt{3})\simeq 11,1962L^2$

O bé, en funció de l'apotema $a$ i del costat $L$ del dodecàgon,

$A=\frac{P\cdot a}{2}=\frac{12\cdot L\cdot a}{2}=6\cdot L\cdot a$

També, en funció d'únicament l'apotema $a$,

$A=a^2\cdot (24-12\sqrt{3})$

I, finalment, en funció del radio $r$ de la circumferència circumscrita al dodecàgon,

$A=3r^2$

Construcció d'un dodecàgon regular

A continuació es presenta un mètode de construcció del dodecàgon regular amb regle i compàs en 23 passos. Cal tenir en compte que entre els passos 8 i 11 no es modifica l'obertura del compàs.

Animació de la construcció d'un dodecàgon regular

Vegeu també

• Dodecaedre