El mètode de Laplace

En matemàtiques, el mètode de Laplace, que rep el nom de Pierre-Simon Laplace, és una tècnica utilitzada per aproximar integrals de la forma

$f(x)=\frac{\sin (x)}{x}$ té un màxim global a 0. $e^{Mf(x)}$ es mostra a la part superior per a M = 0,5, i a la part inferior per a M = 3 (tots dos en blau). A mesura que M creix, l'aproximació d'aquesta funció per una funció gaussiana (mostrada en vermell) millora. Aquesta observació és la base del mètode de Laplace.

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{Mf(x)}dx,$

on $f(x)$ és una funció diferenciable dues vegades, M és un nombre gran i els extrems a i b possiblement poden ser infinits. Aquesta tècnica es va presentar originalment a Plantilla:Harvtxt.

En l'estadística bayesiana, l'aproximació de Laplace pot referir-se a l'aproximació de la constant de normalització posterior amb el mètode de Laplace o a l'aproximació de la distribució posterior amb un gaussià centrat en l'estimació a posteriori màxima. Les aproximacions de Laplace tenen un paper central en el mètode integrat d'aproximacions de Laplace imbricades per a una inferència bayesiana aproximada ràpida.

La idea del mètode de Laplace

Suposem la funció $f(x)$ té un màxim global únic a x₀. Deixar $M>0$ sigui una constant i consideri les dues funcions següents:

$\begin{array}{cc}g(x)& =Mf(x)\\ h(x)& =e^{Mf(x)}\end{array}$

Tingueu en compte que x ₀ serà el màxim global de $g$ i $h$ també. Ara observeu:

$\begin{array}{cc}\frac{g(x_0)}{g(x)}& =\frac{Mf(x_0)}{Mf(x)}=\frac{f(x_0)}{f(x)}\\ \frac{h(x_0)}{h(x)}& =\frac{e^{Mf(x_0)}}{e^{Mf(x)}}=e^{M(f(x_0)-f(x))}\end{array}$

A mesura que M augmenta, la relació per $h$ creixerà exponencialment, mentre que la proporció per $g$ no canvia. Així, les contribucions significatives a la integral d'aquesta funció vindran només dels punts x en un entorn de x₀, que després es poden estimar.

Teoria general del mètode de Laplace

Per afirmar i motivar el mètode, necessitem diverses hipòtesis. Suposarem que x₀ no és un punt final de l'interval d'integració, que els valors $f(x)$ no pot estar molt a prop $f(x_0)$ tret que x sigui proper a x_0.

Ens podem ampliar $f(x)$ al voltant de x₀ pel teorema de Taylor,

$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}{f}^{″}(x_0)(x-x_0{)}^2+R$

on $R=O((x-x_0{)}^3)$ (vegeu: notació O gran).

Des que $f$ té un màxim global a x ₀, i com que x ₀ no és un punt final, és un punt estacionari, és a dir $f^{\prime }(x_0)=0$. Per tant, el polinomi de Taylor de segon ordre s'aproxima $f(x)$ és

$f(x)\approx f(x_0)+\frac{1}{2}{f}^{″}(x_0)(x-x_0{)}^2$

Aleshores només necessitem un pas més per obtenir la nostra distribució gaussiana. Des que $x_0$ és un màxim global de la funció $f$ podem dir, per definició de la segona derivada, que $f^{″}(x_0)<0$, que ens permet escriure

$f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f^{″}(x_0)|(x-x_0{)}^2$

per x proper a x₀. Aleshores la integral es pot aproximar amb:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{Mf(x)}dx\approx e^{Mf(x_0)}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{-\frac{1}{2}M|f^{″}(x_0)|(x-x_0{)}^2}dx$

(vegeu la imatge de la dreta). Aquesta darrera integral és una integral gaussiana si els límits d'integració van de −∞ a +∞ (cosa que es pot suposar perquè l'exponencial decau molt ràpidament lluny de x₀), i així es pot calcular. Trobem

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{Mf(x)}dx\approx \sqrt{\frac{2\pi }{M|f^{″}(x_0)|}}{e}^{Mf(x_0)}\text{ quan }M\to \mathrm{\infty }.$