Equació constitutiva

Una equació constitutiva és una relació entre les variables termodinàmiques o mecàniques d'un sistema físic: pressió, volum, tensió, deformació, temperatura, densitat, entropia, etc. Cada material o substància té una equació constitutiva específica, tal relació només depèn de l'organització molecular interna. En mecànica de sòlids deformables i en enginyeria estructural, les equacions constitutives són igualtats que relacionen el camp de tensió mecànica amb la deformació, usualment tals equacions relacionen components dels tensors de tensió, deformació i velocitat de deformació. Per a un material elàstic lineal les equacions constitutives s'anomenen equacions de Lamé-Hooke o simplement llei de Hooke. També més generalment en física es fa servir el terme equació constitutiva per a qualsevol relació entre magnituds tensorials, que no és derivable de lleis de conservació o altres tipus de lleis universals i que són específiques del tipus de problema estudiat.

Exemples

Medis continus i termodinàmica

• Sòlid elàstic lineal (Llei de Hooke)

$\sigma =E\epsilon [\Rightarrow F=-kx]$ (cas unidimensional)

${\sigma }_{ij}=\sum _{k,l}{C}_{ijkl}{\epsilon }_{kl}$ (cas general)

• Sòlid Elàstic isòtrop no-lineal (Teorema de Rivlin-Ericksen)

${\sigma }_{ij}=\alpha ({\iota }_{\epsilon }){\delta }_{ij}+{\beta }_{ijkl}({\iota }_{\epsilon }){\epsilon }_{kl}+{\gamma }_{ijkl}({\iota }_{\epsilon })\sum _m{\epsilon }_{km}{\epsilon }_{ml}$

• Fluid newtonià

${\tau }_{\Vert }=\mu {\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}_{\mathrm{\perp }}{\sigma }_{ij}=-p{\delta }_{ij}+\mu (\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i}-\frac{2}{3}{\delta }_{ij}\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)$

Electromagnetisme

• Llei d'Ohm

$\frac{V}{I}=R$ (cas isòtrop)

$J_j={\sigma }_{ij}{E}_i$ (cas general)

• Susceptibilitat elèctrica (permitivitat)

$P_j={ϵ}_0{\chi }_{ij}{E}_i$

$D_j={ϵ}_{ij}{E}_i$

• Susceptibilitat magnètica (permeabilitat electromagnètica)

$M_j={\mu }_0{\chi }_{m,ij}{H}_i$

$B_j={\mu }_{ij}{H}_i$

Fenòmens de transport

• Transferència de calor

$q=c_{p}T$

• Conductivitat tèrmica

$p_j=-k_{ij}\frac{\partial T}{\partial x_i}$

• Difusió (Llei de Fick)

$J_j=-D_{ij}\frac{\partial C}{\partial x_i}$

Altres exemples

• Fricció

$F_f=F_p{\mu }_f$

• Resistència aerodinàmica

$D=\frac{1}{2}{C}_d\rho A{v}^2$