Equació de Böttcher

LPlantilla:'equació de Böttcher és l'equació funcional

$F(h(z))=(F(z){)}^n$

on

• Plantilla:Mvar és una funció analítica donada amb un punt fix superatraient d'ordre Plantilla:Mvar a Plantilla:Mvar, (és a dir, $h(z)=a+c(z-a{)}^n+O((z-a{)}^{n+1}),$ en un veïnat d'Plantilla:Mvar), amb n ≥ 2
• Plantilla:Math és una funció buscada.

El logaritme d'aquesta equació funcional equival a l'equació de Schröder.

Nom

L'equació porta el nom del matemàtic polonès Lucjan Böttcher (1872-1937).

Solució

La solució de l'equació funcional és una funció en forma implícita.

Lucian Emil Böttcher va esbossar una prova en 1904 sobre l'existència d'una solució: una funció analítica F en un veïnat del punt fix a, tal que:

$F(a)=0$

Aquesta solució s'anomena a vegades:

• la coordenada de Böttcher
• la funció de Böttcher
• el mapa de Boettcher.

La prova completa va ser publicada per Joseph Ritt en 1.920, qui desconeixia la formulació original.

La coordenada de Böttcher (el logaritme de la funció de Schröder) conjuga h (z) en un veïnat del punt fix a la funció Plantilla:Math. Un cas especialment important és quan Plantilla:Math és un polinomi de grau Plantilla:Mvar, i a = ∞.

Exemples

Per a la funció h i n=2

$h(x)=\frac{x^2}{1-2x^2}$

la funció F de Böttcher és:

$F(x)=\frac{x}{1+x^2}$

Aplicacions

L'equació de Böttcher té un paper fonamental en la part de la dinàmica holomorfa que estudia la iteració de polinomis d'una variable complexa.

Les propietats globals de la coordenada de Böttcher van ser estudiades per Fatou, Douady i Hubbard.