Equació de Bateman

En física nuclear, lPlantilla:'equació de Bateman és un model matemàtic que descriu abundàncies i activitats en una cadena de desintegració en funció del temps, basant-se en les taxes de desintegració i en les abundàncies inicials. El model va ser formulat per Ernest Rutherford el 1905 i la solució analítica va ser proporcionada per Harry Bateman el 1910.

Si, en el moment $t$, hi ha $N_i(t)$ isòtops d'àtoms $(i)$ que es desintegren en isòtops $(i+1)$ en una relació ${\lambda }_i$, l'evolució de la quantitat d'isòtops de la cadena de desintegració en k-passos és:

$\begin{array}{cc}\frac{d{N}_1(t)}{dt}& =-{\lambda }_1{N}_1(t)\\ \frac{d{N}_i(t)}{dt}& =-{\lambda }_i{N}_i(t)+{\lambda }_{i-1}{N}_{i-1}(t)\\ \frac{d{N}_k(t)}{dt}& ={\lambda }_{k-1}{N}_{k-1}(t)\end{array}$

(això es pot adaptar per manejar les branques de desintegració). Tot i que es pot resoldre de manera explícita per $(i=2)$, les fórmules es tornen ràpidament molestes per a cadenes més llargues. L'equació de Bateman és una equació mestra clàssica on només es permeten les taxes de transició d'una espècie $(i)$ a la següent $(i+1)$, però mai en el sentit invers (de $(i+1)$ a $(i)$ està prohibit).

Bateman va trobar una fórmula explícita general per a les quantitats prenent la transformada de Laplace de les variables.

$N_n(t)=\sum _{i=1}^n[N_i(0)\times \left(\prod _{j=i}^{n-1}{\lambda }_j\right)\times \left(\sum _{j=i}^n\left(\frac{e^{-{\lambda }_{j}t}}{\prod _{p=i,p\ne j}^n({\lambda }_p-{\lambda }_j)}\right)\right)]$

(aquesta fórmula també es pot ampliar amb termes d'origen, si es proporcionen externament més isòtops d'àtoms a un ritme constant).

Mentre que la fórmula de Bateman es pot implementar fàcilment en un codi informàtic, si ${\lambda }_p\approx {\lambda }_j$ per a alguns parells d'isòtops, la cancel·lació pot conduir a errors computacionals. Per tant, també es fan servir altres mètodes com la integració numèrica o el mètode de l'exponencial d'una matriu.

Per exemple, per al cas simple d'una cadena de tres isòtops es redueix a la corresponent equació de Bateman

$\begin{array}{cc}& A\stackrel{{\lambda }_A}{\to }B\stackrel{{\lambda }_B}{\to }C\\ & N_B=\frac{{\lambda }_A}{{\lambda }_B-{\lambda }_A}{N}_{A_0}(e^{-{\lambda }_{A}t}-e^{-{\lambda }_{B}t})\end{array}$

Vegeu també

• Equilibri secular
• Equilibri transitori