Equació de Poisson

En matemàtiques lPlantilla:'equació de Poisson és una equació diferencial en derivades parcials que s'utilitza a bastament en electroestàtica, enginyeria mecànica i física teòrica. Rep el seu nom en honor del matemàtic, geòmetra i físic francès Siméon Denis Poisson.

L'equació de Poisson és:

$\mathrm{\Delta }\phi =f$

on $\mathrm{\Delta }$ és l'operador laplacià, i f i φ són funcions amb valors reals o complexos sobre una varietat. Quan la varietat és un espai euclidià, l'operador laplacià s'acostuma a escriure com ${\mathrm{\nabla }}^2$ i l'equació de Poisson s'escriu com

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =f$

En un sistema de coordenades cartesianes tridimensional pren la forma

$(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})\phi (x,y,z)=f(x,y,z).$

Per la desaparició de f, aquesta l'equació esdevé l'equació de Laplace

$\mathrm{\Delta }\phi =0.$

L'equació de Poisson pot ser resolta utilitzant diferents mètodes com ara la funció de Green o mètodes numèrics com el mètode de les diferències finites o el mètode dels elements finits. D'altra banda en gravitació relativista s'utilitzen mètodes de resolució basats en la transformada de Fourier.

Electroestàtica

Una de les pedres angulars de l'electroestàtica és el plantejament i solució de problemes que són descrits per mitjà de l'equació de Poisson. Buscar φ per un valor f donat és un problema pratic important en tant que és la via habitual de trobar el potencial elèctric per a una distribució de càrrega donada. En unitats del SI:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=-\frac{\rho }{{ϵ}_0}$

on $\mathrm{\Phi }$ és el potencial elèctric (en volts), $\rho$ és la densitat de càrrega (en coulombs per metre cúbic), i ${ϵ}_0$ és la permitivitat del buit (en farads per metre).

A una regió de l'espai on no hi ha densitat de càrregues desaparellades, tenim

$\rho =0,$

i l'equació per al potencial esdevé l'equació de Laplace:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=0.$

Potencial d'una densitat de càrrega Gaussiana

Si hi ha una distribució gaussiana de densitat de càrrega simètrica en forma d'esfera $\rho (r)$:

$\rho (r)=\frac{Q}{{\sigma }^3{\sqrt{2\pi }}^3}{e}^{-r^2/(2{\sigma }^2)},$

on Q és la càrrega total, llavors la solució Φ (r) de l'equació de Poisson

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=-\frac{\rho }{{ϵ}_0}$

vindrà donada per

$\mathrm{\Phi }(r)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Q}{r}\text{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma }\right)$

on erf(x) és la funció d'error.

Aquesta solució pot ser comprovada per mitjà d'una avaluació manual de ${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }$.

Noteu que per a un valor de r molt més gran que σ, erf(x)s'aproxima a la unitat i el potencial Φ (r) s'aproxima al potencial elèctric de la càrrega puntual $\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Q}{r}$, tal com era d'esperar.

Problema de Neumann

Plantilla:Article principal El problema de Neumann és similar a l'anterior però en lloc de fixar el valor de la funció incògnita sobre la frontera, fixa el valor de la derivada perpendicularment a la superfície Plantilla:Equació

Referències

• Poisson Equation a EqWorld: El món de les equacions.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. Plantilla:ISBN
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. Plantilla:ISBN