Equació en integrodiferència

En matemàtiques, una equació en integrodiferència és una relació de recurrència en un espai funcional, de la forma següent:

$n_{t+1}(x)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }k(x,y)f(n_t(y))dy,$

on $\{n_t\}$ és una seqüència a l'espai funcional i $\mathrm{\Omega }$ és el domini d'aquestes funcions. En la majoria d'aplicacions, per a qualsevol $y\in \mathrm{\Omega }$, $k(x,y)$és una funció de densitat de probabilitat sobre $\mathrm{\Omega }$. S'ha de tenir en compte que a la definició anterior, $n_t$ es pot valorar el vector, en aquest cas cada element de $\{n_t\}$ té associada una equació en integrodiferència valorada amb ell.

Les equacions en integrodiferència s'utilitzen àmpliament en biologia matemàtica, especialment en ecologia teòrica, per modelar la dispersió i el creixement de les poblacions. En aquest cas, $n_t(x)$ és la mida o la densitat de població al lloc $x$ en el temps $t$, $f(n_t(x))$ descriu el creixement de la població local al lloc $x$, i $k(x,y)$ és la probabilitat de moure's des del punt $y$ cap al punt $x$, sovint anomenat nucli de dispersió. Les equacions en integrodiferència s'utilitzen més comunament per descriure poblacions univoltines, incloses, entre d'altres, molts artròpodes i espècies de plantes anuals. Tot i això, les poblacions multivoltines també es poden modelar amb equacions en integrodiferència, sempre que l'organisme tingui generacions que no es superposin. En aquest cas, $t$ no es mesura en anys, sinó l'increment temporal entre les cries.

Nuclis de convolució i velocitats d'invasió

En una dimensió espacial, el nucli de dispersió sovint depèn només de la distància entre la font i la destinació, i es pot escriure com $k(x-y)$. En aquest cas, algunes condicions naturals de $f$ i $k$ impliquen que hi ha una velocitat de difusió ben definida per a les ones d'invasió generades a partir de condicions inicials compactes. La velocitat d'ona es calcula sovint estudiant l'equació linealitzada

$n_{t+1}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}k(x-y)R{n}_t(y)dy$

on $R=df/dn(n=0)$. Això es pot escriure com a convolució

$n_{t+1}=f^{\prime }(0)k*n_t$

Utilitzant una transformació de la funció generadora de moments

$M(s)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{sx}n(x)dx$

s'ha demostrat que la velocitat d'ona crítica

$c^{*}=\underset{w>0}{\min }[\frac{1}{w}\ln (R\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}k(s)e^{ws}ds)]$

Altres tipus d'equacions que s'utilitzen per modelar la dinàmica de la població a través de l'espai inclouen equacions de reacció-difusió i equacions de metapoblació. Tot i això, les equacions de difusió no permeten incloure patrons de dispersió explícits i només són biològicament precisos per a poblacions amb generacions superposades. Les equacions de metapoblació són diferents de les equacions en integrodiferència en el fet que descomponen la població en taques discretes en lloc d'un paisatge continu.