Equacions de Friedmann

Les equacions de Friedmann són un conjunt d'equacions en cosmologia física que governen l'expansió mètrica de l'espai en models homogenis i isòtrops de l'Univers dins del context de la teoria de la relativitat general. Van ser descobertes per Alexander Friedmann el 1922 a partir de les equacions de camp d'Einstein per a la mètrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker i un fluid amb una densitat d'energia ($\rho$) i una pressió ($p$) determinada.

Les equacions

Les equacions són:

$H^2\equiv {\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G\rho +\mathrm{\Lambda }{c}^2}{3}-K\frac{c^2}{a^2}$

$3\frac{\ddot{a}}{a}=\mathrm{\Lambda }{c}^2-4\pi G(\rho +\frac{3p}{c^2})$

• $\mathrm{\Lambda }$ és la constant cosmològica possiblement causada per l'energia del buit
• $G$ és la constant de gravitació
• $c$ és la velocitat de la llum
• $a$ és el factor d'escala de l'Univers
• $K$ és la curvatura gaussiana quan $a=1$ (per exemple, avui).

Si la forma de l'univers és hiperesfèrica i $R$ és el radi de curvatura ($R_0$ en el moment actual), llavors $a=R/R_0$. Generalment, $\frac{K}{a^2}$ és la curvatura gaussiana. Si $K$ és positiva, llavors l'Univers és hiperesfèric. Si $K$ és zero, l'Univers és pla i si $K$ és negatiu l'Univers és hiperbòlic. A més, $\rho$ i $p$ són funció de $a$. El paràmetre de Hubble, $H$, és la velocitat d'expansió de l'univers.

Aquestes equacions de vegades se simplifiquen redefinint la densitat d'energia i la pressió:

$\rho \to \rho -\frac{\mathrm{\Lambda }}{8\pi G}$

$p\to p+\frac{\mathrm{\Lambda }{c}^2}{8\pi G}$

per a obtenir:

$H^2\equiv {\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -K\frac{c^2}{a^2}$

$3\frac{\ddot{a}}{a}=-4\pi G(\rho +\frac{3p}{c^2})$

El paràmetre de Hubble pot canviar en el temps si altres elements de l'equació són dependents del temps, en particular la densitat d'energia, l'energia del buit i la curvatura. Avaluant el paràmetre de Hubble en el moment actual surt que la constant de Hubble és la constant de proporcionalitat de la llei de Hubble. Si s'aplica a un fluid amb una equació d'estat determinada, les equacions de Friedmann donen com a resultat l'evolució en el temps i la geometria de l'Univers com a funció de la densitat del fluid.

Alguns cosmòlegs anomenen la segona d'aquestes dues equacions lPlantilla:'equació d'acceleració i es reserven el terme equació de Friedmann només per a la primera equació.

El paràmetre de densitat

El paràmetre de densitat, $\mathrm{\Omega }$, es defineix com la relació de la densitat actual, o observada, $\rho$ respecte a la densitat crítica ${\rho }_c$ de l'Univers de Friedmann. Una expressió per a la densitat crítica es troba assumint que $\mathrm{\Lambda }$ és zero, com ho és per a tots els universos de Friedmann bàsics, i establint la curvatura $K$ igual a zero. Quan se substitueixen aquests paràmetres a la primera equació de Friedmann trobem que:

${\rho }_c=\frac{3H^2}{8\pi G}$

I l'expressió per al paràmetre de densitat, útil per a comparar diferents models cosmològics, és:

$\mathrm{\Omega }\equiv \frac{\rho }{{\rho }_c}=\frac{8\pi G}{3H^2}\rho$

Aquest terme originalment va ser utilitzat com una manera de determinar la geometria del camp en el qual ${\rho }_c$ és la densitat crítica per a la qual la geometria és plana. Assumint una densitat d'energia del buit nul·la, si $\mathrm{\Omega }$ és més gran que un, la geometria és tancada i l'Univers eventualment pararà la seva expansió i llavors es col·lapsarà. Si $\mathrm{\Omega }$ és menor que u, serà obert i l'Univers s'expandirà per sempre. Tanmateix, també es poden sintetitzar els termes de curvatura i de l'energia del buit en una expressió més general per a en el cas que aquest paràmetre de densitat d'energia sigui exactemente igual a la unitat. Llavors és una qüestió de mesurar els diferents components, normalment designats per subíndexs. D'acord amb el model Lambda-CDM, hi ha importants components de $\mathrm{\Omega }$ a causa de barions, matèria fosca freda i energia fosca. La geometria de l'espaitemps va ser mesurada pel satèl·lit WMAP estant a prop de ser una geometria plana, és a dir, el paràmetre de curvatura $K$ és aproximadament zero.

La primera Equació de Friedmann sovint s'escriu formalment amb els paràmetres de densitat.

$\frac{H^2}{H_0^2}={\mathrm{\Omega }}_R{a}^{-4}+{\mathrm{\Omega }}_M{a}^{-3}+{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}-K{c}^2{a}^{-2}$

• ${\mathrm{\Omega }}_R$ és la densitat de radiació actual;
• ${\mathrm{\Omega }}_M$ és la densitat de matèria actual (la fosca més la bariònica);
• ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}$ és la constant cosmològica o la densitat de buit actual.

Els valors acceptats en l'actualitat per a aquests paràmetres són de 0,002 per a la densitat de radiació, 0,29±0,03 per a la densitat de matèria fosca i bariònica en l'actualitat, i de 0,71±0,03 per la densitat de l'energía del buit.

Equació de Friedmann reescalada

Establint que $a=\tilde{a}{a}_0,{\rho }_c=3H_0^2/8\pi G,\rho ={\rho }_c\mathrm{\Omega },t=\tilde{t}/H_0,{\mathrm{\Omega }}_c=-K/H_0^2{a}_0^2$ on a_0 i H_0 són separadament el factor d'escala i el paràmetre de Hubble actuals. Llavors podem trobar que:

$\frac{1}{2}{\left(\frac{d\tilde{a}}{d\tilde{t}}\right)}^2+U_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(\tilde{a})=\frac{1}{2}{\mathrm{\Omega }}_c$

on $U_{eff}(\tilde{a})=\mathrm{\Omega }{\tilde{a}}^2/2$. Per a qualsevol forma del potencial efectiu $U_{eff}(\tilde{a})$, hi ha una equació d'estat $p=p(\rho )$ que la produirà.