Equació diferencial de Bernoulli

Vegeu «Principi de Bernoulli» per a informació sobre l'equació en el camp de la dinàmica de fluids.

En matemàtiques, s'anomena equació diferencial de Bernoulli (o sovint equació de Bernoulli) a una equació diferencial ordinària de la forma

$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n$

Per resoldre aquesta equació, s'han de seguir els següents passos: Dividir entre $y^n$:

$\frac{y^{\prime }}{y^n}+\frac{P(x)}{y^{n-1}}=Q(x).$ (1)

Fer un canvi de variables amb

$w=\frac{1}{y^{n-1}}$

i

$w^{\prime }=\frac{(1-n)}{y^n}{y}^{\prime }.$

Després de substituir, s'aconsegueix l'equació diferencial de primer ordre

$\frac{w^{\prime }}{1-n}+P(x)w=Q(x)$ (2)

que es pot resoldre fent servir el factor d'integració

$M(x)=e^{(1-n)\int P(x)dx}$

Exemple

Donada l'equació de Bernoulli següent

$y^{\prime }-\frac{2y}{x}=-x^2{y}^2$

Després de dividir per $y^2$, aconseguim

$y^{\prime }{y}^{-2}-\frac{2}{x}{y}^{-1}=-x^2$

de manera que el canvi de variables és

$w=\frac{1}{y}$ i $w^{\prime }=\frac{-y^{\prime }}{y^2}$

Això porta a

$w^{\prime }+\frac{2}{x}w=x^2$

que es pot resoldre fent servir el factor d'integració

$M(x)=e^{2\int \frac{1}{x}dx}=x^2$

Després de multiplicar les dues bandes per $M(x)$ es té que

$w^{\prime }{x}^2+2xw=x^4,$

i es pot observar que la banda esquerra és la derivada de $w{x}^2$ (recordant que $w$ és una funció de $x$). Integrant a les dues bandes, es troba

$\int (w{x}^2{)}^{\prime }dx=\int x^{4}dx$

que dona

$w{x}^2=\frac{1}{5}{x}^5+C,$

$\frac{1}{y}{x}^2=\frac{1}{5}{x}^5+C$

i finalment

$y=\frac{x^2}{\frac{1}{5}{x}^5+C}$

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre