Factor d'integració

Plantilla:Falten referències En matemàtiques, hom resol certes equacions diferencials ordinàries mitjançant un factor d'integració o factor integrand. El factor d'integració és sols una funció agafada de manera tal que permet resoldre l'equació desitjada.

Considerant una equació diferencial ordinària de la forma:

$y^{\prime }+a(x)y=b(x)(1)$

on $y=y(x)$ és una funció desconeguda de $x$, i $a(x)$ i $b(x)$ són funcions donades.

El factor d'integració funciona de manera que transforma la banda esquerra de l'equació en la forma de la derivada d'un producte.

Consident una funció $M(x)$. Es multipliquen ambdues bandes de (1) per $M(x):$

$M(x)y^{\prime }+M(x)a(x)y=M(x)b(x)(2)$

Es vol que la banda esquerra quedi de la forma d'una derivada del producte. De fet, si s'assumeix això, la banda esquerra es pot reordenar com a

$(M(x)y{)}^{\prime }=M(x)b(x)(3)$

I això es pot integrar,

$y(x)M(x)=\underset{}{\overset{}{\int }}b(x)M(x)dx+C$

on $C$ és una constant (veure constant arbitrària d'integració). I ara es pot resoldre per $y(x),$

$y(x)=\frac{\underset{}{\overset{}{\int }}b(x)M(x)dx+C}{M(x)}$

Tanmateix, per resoldre explícitament per $y(x)$ es necessita trobar l'expressió de $M(x).$ Es pot deduir de (2) que $M(x)$ obeeix l'equació diferencial

$M^{\prime }(x)-a(x)M(x)=0(4)$

Per aconseguir $M(x)$, es divideixen les dues bandes per $M(x):$

$\frac{M^{\prime }(x)}{M(x)}-a(x)=0(5)$

L'equació (5) ara és de la forma d'una derivada logarítmica. Resolent (5) s'obté

$M(x)=e^{\underset{}{\overset{}{\int }}a(x)dx}$

Es pot veure que multiplicar per $M(x)$ i la propietat $M^{\prime }(x)=a(x)M(x)$ són essencials per resoldre aquesta equació diferencial. $M(x)$ s'anomena factor d'integració. El nom prové del fet que és una integral, i es comporta com un múltiple de l'equació (d'aquí el factor).

Exemple

Donada l'equació diferencial

$y^{\prime }-\frac{2y}{x}=0$

Es pot observar que en aquest cas $a(x)=\frac{-2}{x}$

$M(x)=e^{\underset{}{\overset{}{\int }}a(x)dx}$

$M(x)=e^{\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{-2}{x}dx}$

$M(x)=\frac{1}{x^2}$

Multiplicant ambdues bandes per $M(x)$ s'obté

$\frac{y^{\prime }}{x^2}-\frac{2y}{x^3}=0$

$\left(\frac{y}{x^2}\right)=0$

o bé

$\frac{y}{x^2}=C$

que dona

$y(x)=C{x}^2$

Vegeu també

• Mètode de variació dels paràmetres