Equicontinuïtat

En anàlisi matemàtica, una família de funcions és equicontínua si totes les funcions són contínues i tenen una variació equivalent sobre un veïnat donat, en un sentit precís descrit. Concretament, aquest concepte s'aplica a famílies comptables, i, per tant, seqüències de funcions.

Explicació de l'equicontinuïtat

Siguin $(X,𝒯)$ espai topològic, $(Y,d)$ espai mètric, i $x_0$ un punt a $X$. Un conjunt $H$ de funcions de $X$ a $Y$ es diu equicontinu a $x_0$ si i només si per a tot $r>0,\mathrm{\exists }A$ entorn de $x_0$ tal que $\mathrm{\forall }f\in H,f(A)\subseteq B(f(x_o),r)$

En particular, si $H$ és equicontinu a $x_0$, aleshores totes les funcions que pertanyen a $H$ són contínues a $x_0$.

Direm que $H$ és equicontínua si ho és per a tot $x_0\in X$.

Exemples

1. Si $H$ és una família finita de funcions contínues, aleshores és equicontínua.
2. Si $(X,𝒯)$ és mètric i totes les funcions de $H$ són Lipschitz contínues amb una mateixa constant $K$, aleshores $H$ és equicontínua.
3. Sigui $(X,d)$ espai mètric compacte, si $\{f_n\}$ és una successió de funcions contínues de $K$ a $ℝ$ uniformement convergent, aleshores $\{f_n\}$ és equicontínua.
4. Si $X,Y\subseteq ℝ$, totes les funcions de $H$ són derivables, i existeix una constant $L>0$ tal que $\mathrm{\forall }f\in H,\mathrm{\forall }x\in X,|f^{\prime }(x)|<L$, aleshores es compleix que totes les funcions de $H$ són Lipschitz contínues de constant $L$, i, per tant, $H$ és equicontinu.

Aquesta última propietat és una de les més utilitzades per verificar l'equicontinuitat d'una família de funcions.

Bibliografia

• Plantilla:Springer
• Plantilla:Citation.
• Plantilla:Citation.
• Plantilla:Citation