Fórmula d'Euler-Maclaurin

En matemàtica, la fórmula d'Euler-Maclaurin estableix la relació entre sumatori de sèries i integrals. Pot ser usada per aproximar integrals per sumes finites o, de forma inversa, per a evaluar series (finites o infinites) resolent integrals.

La fórmula va ser descoberta independentment per Leonhard Euler i Colin Maclaurin el 1735. Euler va fer servir aquesta fórmula per calcular valors de sèries infinites amb convergència lenta i Maclaurin la va utilitzar per calcular integrals.

La fórmula

Si x és un nombre real i $f(x)$ és una funció suau (suficientement derivable) definida $\mathrm{\forall }x\in [0,n]$, aleshores, la integral

$I=\underset{0}{\overset{n}{\int }}f(x)dx$

es pot aproximar amb la suma:

$S=\frac{f\left(0\right)}{2}+f\left(1\right)+\cdots +f(n-1)+\frac{f\left(n\right)}{2}=\frac{f\left(0\right)+f\left(n\right)}{2}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(k\right)$

(veure regla del trapezi). La formula d'Euler-Maclaurin ens dona la diferència entre al suma i la intgral en funció de derivades de $f(x)$ en els extrems de l'interval d'integració (0 i n). Per a cualsevol enter positiu p, es compleix:

$S-I=\sum _{k=1}^p\frac{B_{k+1}}{(k+1)!}(f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0))+R$

On $B_n$ són els nombres de Bernoulli i R és una estimació de l'error normalment petit.

Realizant un canvi de variable en l'integral, es pot modificar aquesta fórmula per a funcions $f(x)$ definides en altres intervals de la recta real.

El terme d'error

El término de error R es:

$R=(-1{)}^p\underset{0}{\overset{n}{\int }}{f}^{(p+1)}(x)\frac{B_{p+1}(x-\lfloor x\rfloor )}{(p+1)!}dx,$

On $B_i(x-\lfloor x\rfloor )$ són els polinomis de Bernoulli periòdics. El terme d'error es pot acotar amb:

$\left|R\right|\le \frac{2}{(2\pi {)}^{2p}}\underset{0}{\overset{n}{\int }}|f^{(p+1)}(x)|dx.$