Fórmula de Kubo

La fórmula de Kubo, que rep el seu nom del físic-matemàtic Ryogo Kubo qui va presentar la fórmula per primera vegada el 1957, és una equació que expressa la resposta lineal d'una magnitud observable a causa d'una pertorbació depenent del temps.

Entre les nombroses aplicacions de la fórmula de Kubo es poden mencionar els càlculs de les susceptibilitats de càrrega i spin dels sistemes d'electrons en resposta als camps elèctrics i magnètics aplicats, així com les respostes a forces i vibracions mecàniques externes.

Fórmula general de Kubo

Considerem un sistema quàntic descrit pel Hamiltonià (independent del temps) $H_0$. El valor esperat d'una magnitud física a la temperatura d'equilibri $T$, descrit per l'operador $\hat{A}$, es pot avaluar via:

$⟨\hat{A}⟩=\frac{1}{Z_0}\mathrm{Tr}\left[\widehat{{\rho }_0}\hat{A}\right]=\frac{1}{Z_0}\sum _n⟨n\left|\hat{A}\right|n⟩e^{-\beta E_n}$ ,

on $\beta =1/k_{\mathrm{B}}T$ és la temperatura inversa, ${\hat{\rho }}_0$ és l'operador de densitat, donat per

$\widehat{{\rho }_0}=e^{-\beta {\hat{H}}_0}=\sum _n|n⟩⟨n|e^{-\beta E_n}$

i $Z_0=\mathrm{Tr}\left[{\hat{\rho }}_0\right]$ és la funció de partició.

Suposem ara que al cap d'un temps $t=t_0$ s'aplica una pertorbació externa al sistema. La pertorbació es descriu per una dependència temporal addicional al Hamiltonià:

$\hat{H}(t)={\hat{H}}_0+\hat{V}(t)\theta (t-t_0),$

on $\theta (t)$ és la funció de Heaviside (1 per a temps positius, 0 en cas contrari) i $\hat{V}(t)$ és hermítica i es defineix per a tot temps t, de manera que $\hat{H}(t)$ té (per $t-t_0$ positius) de nou un conjunt complet de valors propis reals $E_n(t)$, que poden canviar amb el temps.

Tanmateix, es pot obtenir l'evolució temporal de la matriu de densitat $\hat{\rho }(t)$ respecte de la funció de partició $Z(t)=\mathrm{Tr}[\hat{\rho }(t)],$ tot avaluant el valor d'expectació següent

$⟨\hat{A}⟩=\frac{\mathrm{Tr}[\hat{\rho }(t)\hat{A}]}{\mathrm{Tr}[\hat{\rho }(t)]}.$

En la imatge de Schrödinger, la dependència temporal dels estats $|n(t)⟩$ es regeix per l'equació de Schrödinger

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|n(t)⟩=\hat{H}(t)|n(t)⟩.$

Com que $\hat{V}(t)$ s'ha de considerar com una petita pertorbació, és convenient utilitzar la representació de la imatge d'interacció, $|\hat{n}(t)⟩,$ en l'ordre no trivial més baix. La dependència temporal en aquesta representació ve donada per $|n(t)⟩=e^{-i{\hat{H}}_{0}t/\hslash }|\hat{n}(t)⟩=e^{-i{\hat{H}}_{0}t/\hslash }\hat{U}(t,t_0)|\hat{n}(t_0)⟩,$ on per definició per a tots els t i $t_0$ és: $|\hat{n}(t_0)⟩=e^{i{\hat{H}}_0{t}_0/\hslash }|n(t_0)⟩$

En l'ordre lineal a $\hat{V}(t)$, tenim

$\hat{U}(t,t_0)=1-\frac{i}{\hslash }\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}d{t}^{\prime }\hat{V}\left(t^{\prime }\right)$ .

Així s'obté el valor d'expectació d'$\hat{A}(t)$ a l'ordre lineal en la pertorbació:

$⟨\hat{A}(t)⟩={⟨\hat{A}⟩}_0-\frac{i}{\hslash }\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}d{t}^{\prime }\frac{1}{Z_0}\sum _n{e}^{-\beta E_n}⟨n(t_0)|\hat{A}(t)\hat{V}\left(t^{\prime }\right)-\hat{V}\left(t^{\prime }\right)\hat{A}(t)|n(t_0)⟩$ ,

que es pot escriure de forma general com a

$⟨\hat{A}(t)⟩={⟨\hat{A}⟩}_0-\frac{i}{\hslash }\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}d{t}^{\prime }{⟨[\hat{A}(t),\hat{V}\left(t^{\prime }\right)]⟩}_0$

Els parèntesis $⟨{⟩}_0$ indiquen una mitjana d'equilibri respecte al Hamiltonià $H_0.$ Per tant, tot i que el resultat és a primer ordre en la pertorbació, implica només les funcions pròpies d'ordre zero, que sol ser el cas en la teoria de la pertorbació i allunya totes les complicacions que d'altra manera podrien sorgir per $t>t_0$ .

L'expressió anterior és certa per a qualsevol tipus d'operadors. (Vegeu també Segona quantització).