Factorial esquerre

En matemàtiques, es coneix com a factorial esquerre la funció definida com $!n:=\sum _{k=0}^{n-1}k!$, tot i que sovint s'empra la mateixa notació per referir-se al subfactorial. Per evitar aquesta confusió, alguns autors utilitzen la notació $L!n:=\sum _{k=0}^{n-1}k!$. Aquesta funció fou definida per primer cop pel matemàtic iugoslau Đuro Kurepa al seu treball On the left factorial function !n l'any 1971.

Primers termes

Els primers termes de la successió $a_n=!n$, començant en $n=0$, són 0, 1, 2, 4, 10, 34, 154, 874, 5914, 46234, 409114, 4037914, 43954714, 522956314, 6749977114, 93928268314, 1401602636314, 22324392524314, 378011820620314, 6780385526348314, 128425485935180314, 2561327494111820314 i 53652269665821260314. De fet, és trivial demostrar que tots els termes a partir d'$a_2$ són parells.

Expressions equivalents

El factorial esquerre pot expressar-se de manera relativament senzilla a partir de la funció gamma incompleta $\mathrm{\Gamma }(a,x)$ com

$!n=\frac{(-1{)}^n\mathrm{\Gamma }(n+1,0)\mathrm{\Gamma }(-n,-1)-\mathrm{\Gamma }(0,-1)}{e}$.

Vegeu també

• Conjectura de Kurepa