Factorització de rang

Donada una matriu $A$ de dimensió $m\times n$ amb rang $r$, una descomposició de rang o factorització de rang de $A$ és un producte $A=CF$, on $C$ és una matriu $m\times r$ i $F$ és una matriu $r\times n$.

Tota matriu de dimensió finita té una factorització de rang: Sigui $A$ una matriu $m\times n$ amb rang per columnes $r$. Per definició, existeixen $r$ columnes linealment independents d'$A$; de forma equivalent, la dimensió de l'espai de columnes d'$A$ és $r$. Sigui $c_1,c_2,\dots ,c_r$ una base qualsevol de l'espai de columnes d'$A$, i col·loquem-la com a vectors columna, per formar la matriu $C=[c_1:c_2:\dots :c_r]$, de dimensió $m\times r$. Així, qualsevol vector columna d'$A$ és una combinació lineal de les columnes de $C$. De forma més precisa, si $A=[a_1:a_2:\dots :a_n]$ és una matriu de dimensió $m\times n$, on $a_j$ representa la columna $j$-sima, llavors

$a_j=f_{1j}{c}_1+f_{2j}{c}_2+\cdots +f_{rj}{c}_r,$

on $f_{ij}$ són els coeficients escalars de $a_j$ en termes de la base $c_1,c_2,\dots ,c_r$. Això implica que $A=CF$, on $f_{ij}$ és l'element $(i,j)$-sim de $F$.

rang(A) = rang (A^T)

Una conseqüència immediata de la factorització de rang és que el rang d'$A$ és igual al rang de la seva transposada $A^{\text{T}}$. Com que les columnes d'$A$ són les files d'$A^{\text{T}}$, llavors el rang per columnes d'$A$ és igual al seu rang per files.

Factorització de rang per matrius esglaonades per files

A la pràctica, podem construir una factorització de rang de la següent manera: podem calcular $B$, la forma esglaonada per files d'$A$. Llavors obtenim $C$ per l'eliminació de les columnes no-pivot d'$A$, i obtenim $F$ per l'eliminació de les files a 0 de $B$.

Exemple

Considerem la matriu

$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 4\\ 2& 7& 3& 9\\ 1& 5& 3& 1\\ 1& 2& 0& 8\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=B\text{.}$

$B$ està en forma esglaonada. Llavors obtenim $C$ tot eliminant la tercera columna d'$A$, l'única que no és una columna pivot, i obtenim $F$ tot eliminant l'última fila de zeros; és a dir:

$C=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 2& 7& 9\\ 1& 5& 1\\ 1& 2& 8\end{array}\right]\text{,}F=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\text{.}$

És senzill comprovar que

$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 4\\ 2& 7& 3& 9\\ 1& 5& 3& 1\\ 1& 2& 0& 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 2& 7& 9\\ 1& 5& 1\\ 1& 2& 8\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=CF\text{.}$

Demostració

Sigui $P$ una matriu de permutació de dimensió $n\times n$ tal que $AP=(C,D)$ en forma particionada per blocs, on les columnes de $C$ són les $r$ columnes pivot d'$A$. Tota columna de $D$ és una combinació lineal de les columnes de $C$, de tal manera que existeix una matriu $G$ tal que $D=CG$, on les columnes de $G$ contenen els coeficients d'aquestes combinacions lineals. Per tant, $AP=(C,CG)=C(I_r,G)$, on $I_r$ és la matriu identitat $r\times r$. Ara veurem que $(I_r,G)=FP$.

La transformació de $AP$ en la seva forma esglaonada per files és equivalent a multiplicar per l'esquerra per una matriu $E$ que és producte de matrius elementals, de tal forma que $EAP=BP=EC(I_r,G)$, on $EC=\left(\begin{array}{c}{I}_r\\ 0\end{array}\right)$. Ara podem escriure $BP=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& G\\ 0& 0\end{array}\right)$, la qual cosa ens permet identificar que $(I_r,G)=FP$, és a dir, les $r$ files no-nul·les de la forma esglaonada, amb la mateixa permutació de columnes que havíem obtingut per $A$. Així tenim que $AP=CFP$, i com que $P$ és invertible, això implica que $A=CF$, cosa que completa la demostració.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre