Flux de Hagen-Poiseuille a partir de les equacions de Navier-Stokes

Representació del flux de Poiseuille

En dinàmica de fluids, la derivació del flux de Hagen-Poiseuille a partir de les equacions de Navier-Stokes mostra com aquest flux és una solució exacta de les equacions de Navier-Stokes.

Derivació

El flux laminar a través d'un conducte de secció uniforme (circular) es coneix com a flux de Hagen-Poiseuille. Les equacions que governen aquest flux es poden derivar directament de les equacions de moment de Navier-Stokes en coordenades cilíndriques (3D) a través de les següents suposicions.

1. El flux és no estacionari ($\partial (...)/\partial t=0$).
2. Les components radial i azimutal de la velocitat del fluid són zero ($u_r=u_{\theta }=0$).
3. El flux és axisimètric ($\partial (...)/\partial \theta =0$) i desenvolupat del tot ($\partial u_z/\partial z=0$).

Llavors l'equació angular de l'equació de continuïtat es satisfan idènticament. La primera equació de moment es redueix a $\partial p/\partial r=0$. La pressió $p$és funció de la coordenada de l'eix $z$. La tercera equació del moment es redueix a:

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial u_z}{\partial r}\right)=\frac{1}{\mu }\frac{\partial p}{\partial z}$ on $\mu$ és la viscositat dinàmica del fluid.

La solució és

$u_z=\frac{1}{4\mu }\frac{\partial p}{\partial z}{r}^2+c_1\ln r+c_2$

Com que $u_z$ ha de ser finit a $r=0$, $c_1=0$. La condició de contorn de no lliscament a la paret del conducte requereix que $u_z=0$ a $r=R$ (radi del tub), que porta a:

$c_2=-\frac{1}{4\mu }\frac{\partial p}{\partial z}{R}^2.$

Llavors es té finalment el següent perfil de velocitat parabòlica:

$u_z=-\frac{1}{4\mu }\frac{\partial p}{\partial z}(R^2-r^2).$

La velocitat màxima es dona al centre del tub ($r=0$):

${u_z}_{max}=\frac{R^2}{4\mu }(-\frac{\partial p}{\partial z}).$

La velocitat mitjana es pot obtenir integrant respecte $r$ la velocitat a través de la secció:

${u_z}_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}=\frac{1}{\pi R^2}\underset{0}{\overset{R}{\int }}{u}_z\cdot 2\pi rdr=0.5{u_z}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}.$

L'equació de Hagen-Poiseuille relaciona el gradient de pressió $\mathrm{\Delta }p$ a través del conducte circular de llargària $L$ amb la velocitat mitjana al conducte ${u_z}_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}$ i altres paràmetres. Assumint que la pressió decreix linealment a través de la llargària del tub, es téː

$-\frac{\partial p}{\partial z}=\frac{\mathrm{\Delta }p}{L}$ (constant). Substituint això i l'expressió per ${u_z}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ a l'expressió per ${u_z}_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}$, i tenint en compte que el diàmetre del conducte és $D=2R$, es téː

${u_z}_{avg}=\frac{D^2}{32\mu }\frac{\mathrm{\Delta }p}{L}.$

Reagrupant això s'obté l'equació de Hagen-Poiseuilleː

$\mathrm{\Delta }p=\frac{32\mu L{u_z}_{\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{g}}}{D^2}.$

Vegeu també

• Llei de Poiseuille
• Flux de Couette̟