Flux magnètic

Plantilla:Editant Plantilla:Infotaula magnitud El flux magnètic, representat per ${\mathrm{\Phi }}_m$ (la lletra grega phi), és una mesura de la quantitat de magnetisme que travessa una superfície. Es defineix com la integral del producte escalar del camp magnètic $\overrightarrow{B}$ i el vector element d'àrea $\mathrm{d}\overrightarrow{S}$.

$${\mathrm{\Phi }}_m=\underset{S}{\int }\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}$$

També hom pot expressar-lo emprant el vector unitari normal a la superfície $\hat{n}$ o emprant només la component normal a la superfície $B_n=B\cos \theta$ del camp magnètic, essent $\theta$ l'angle que formen els vectors $\overrightarrow{B}$ i $\mathrm{d}\overrightarrow{S}$:

$${\mathrm{\Phi }}_m=\underset{S}{\int }\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=\underset{S}{\int }\overrightarrow{B}\cdot \hat{n}\mathrm{d}S=\underset{S}{\int }{B}_n\mathrm{d}S=\underset{S}{\int }B\cos \theta \mathrm{d}S$$

Wilhelm Eduard Weber.

Si $\hat{n}$ és normal a la superfície de l'element, també ho és $-\hat{n}$ i, per tant, hi ha dos sentits de la mateixa recta normals a qualsevol element de superfície i hom pot triar de manera arbitrària quin és el sentit positiu del vector unitari $\hat{n}$. No obstant això, el signe del flux sí que depèn d'aquesta elecció.

Si la superfície es plana hom pot escriure:

$${\mathrm{\Phi }}_m=\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{S}=B_{n}S=BS\cos \theta$$

Al Sistema Internacional d'Unitats es mesura en weber (Wb), essent 1 Wb = 1 T·m². El nom weber és en honor al físic alemany Wilhelm Eduard Weber (1804-1891). Amb el també físic i matemàtic alemany Carl Friedrich Gauss (1777-1855) estudià el magnetisme terrestre i inventà un telègraf electromagnètic (1833). Construí també un electrodinamòmetre i proposà, amb Gauss, un sistema d’unitats en electricitat.

El nom flux magnètic pot donar lloc a confusió, ja que no es tracta d'un flux vertader, com podria ser el flux hidràulic d'un corrent d'aigua. No hi ha cap classe de moviment.

Llei de Gauss del magnetisme

Diferents representacions de les línies d'un camp magnètic en dues dimensions al voltant d'un imant. Si hom dibuixa una circumferència a qualsevol lloc sempre hi haurà el mateix nombre de linies que entren i que surten.

La llei de Gauss del magnetisme estableix que el flux de camp magnètic a través d'una superfície tancada és nul. És una de les quatre equacions de Maxwell. L'enuncia de la llei de Gauss del magnetisme és consistent amb el fet que no existeixen monopols magnètics, és a dir, pols nord o pols sud magnètics solts. No és possible separar els dos pols d'un imant tallant-lo per la meitat, ja que apareixeran nous pols donat lloc a dos imants. No hi ha línies de camp magnètic que divergeixin des de cap punt de l'espai ni que convergeixen a un punt de l'espai, com sí ho fan les línies de camp elèctric.

Analíticament, i en forma integral, la llei de Gauss del magnetisme s'expressa com la integral del producte escalar del camp magnètic $\overrightarrow{B}$ i l'element diferencial d'àrea $\mathrm{d}\overrightarrow{S}$ a través de la superfície $S$:

$${\oint }_S\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=0$$

En forma diferencial, la llei de Gauss del magnetisme diu que el producte escalar de l'operador nabla $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$ i el camp magnètic $\overrightarrow{B}$ (la divergència de $\overrightarrow{B}$) val zero:

$$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{B}=0o\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{B}=0$$o, en coordenades cartesianes:

$$\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial z}=0$$

Llei de Faraday-Lenz

Michael Faraday el 1842.

La llei de Faraday, o de Faraday-Lenz, és una llei fonamental de l’electromagnetisme, descoberta el 1831 pel físic anglès Michael Faraday (1791-1867) i, independentment, per l'estatunidenc Joseph Henry (1797-1878), i completada de forma matemàtica el 1845 pel físic alemany Franz Ernst Neumann (1798-1895). Aquesta llei estableix que, en un circuit tancat sotmès a l’acció d’un camp magnètic variable, s’hi indueix una força electromotriu $ℰ$ igual a la derivada respecte al temps del flux magnètic ${\mathrm{\Phi }}_m$ abraçat pel circuit. En general, la llei de Faraday s'enuncia a partir de la força electromotriu que apareix en el circuit i també inclou el fet que aquesta força sempre tendeix a oposar-se a les variacions de flux magnètic, fet que constitueix la llei de Lenz. Analíticament:

Representació d'una corba $C$ que defineix una superfície $S$ travessada per les línies de camp magnètic que defineixen el flux magnètic $\overrightarrow{B}$.

$$ℰ=-\frac{d{\mathrm{\Phi }}_m}{dt}$$

En forma integral, la llei de Faraday s'expressa com:

$$ℰ={\oint }_C\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}=-\frac{d}{dt}\underset{S}{\int }\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}$$

on la integral del producte escalar del camp elèctric $\overrightarrow{E}$ i l'element diferencial de longitud $\mathrm{d}\overrightarrow{l}$ es calcula al llarg de tota la corba $C$; i la integral del producte escalar del camp magnètic $\overrightarrow{B}$ i l'element diferencial d'àrea $\mathrm{d}\overrightarrow{S}$ a través de la superfície $S$ que té per contorn la corba $C$ (el flux magnètic). En forma diferencial s'expressa emprant el producte vectorial de l'operador nabla $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$ i el camp elèctric (el rotacional d'$\overrightarrow{E}$) com:

$$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$$

Constitueix una de les quatre equacions de Maxwell. Aquest és el principi que hi ha darrere del funcionament dels alternadors, dinamos i transformadors.

Vegeu també

• Flux elèctric
• Karl Friedrich Gauss
• James Clerk Maxwell