Forma de Jacobi

En matemàtiques, una forma de Jacobi és una forma autòmorfica del grup de Jacobi, que és el producte semidirecte del grup simplèctic Sp(n;R) i el grup de Heisenberg $H_R^{(n,h)}$. La teoria va ser estudiada sistemàticament per primera vegada per Eichler i Zagier (1985).

Definició

Una forma de Jacobi de nivell 1, pes k i índex m és una funció $\varphi (\tau ,z)$ de dues variables complexes (amb τ en el semiplà superior) de tal manera que

• $\varphi (\frac{a\tau +b}{c\tau +d},\frac{z}{c\tau +d})=(c\tau +d{)}^k{e}^{\frac{2\pi imc{z}^2}{c\tau +d}}\varphi (\tau ,z)\text{ per a }(\genfrac{}{}{0ex}{}{ab}{cd})\in S{L}_2(Z)$
• $\varphi (\tau ,z+\lambda \tau +\mu )=e^{-2\pi im({\lambda }^2\tau +2\lambda z)}\varphi (\tau ,z)$ per a tots els enters λ μ.
• $\varphi$ és una expansió de Fourier

$\varphi (\tau ,z)=\sum _{n\ge 0}\sum _{r^2\le 4mn}c(n,r)e^{2\pi i(n\tau +rz)}.$

Exemples

Els exemples de dues variables inclouen les funcions theta de Jacobi, la funció ℘ de Weierstrass i els coeficients de Fourier-Jacobi de les formes modulars de Siegel de gènere 2. Els exemples amb més de dues variables inclouen caràcters d'algunes representacions irreductibles de major pes de les àlgebres de Kac-Moody afins. Les formes meromòrfiques de Jacobi apareixen en la teoria de les formes modulars de Mock.