Freqüència negativa

El vector que gira en sentit contrari a les agulles del rellotge Plantilla:Math té una freqüència positiva de +1 radian per unitat de temps. No es mostra un vector girant en el sentit de les agulles del rellotge Plantilla:Math que té una freqüència negativa de -1 radian per unitat de temps. Tots dos van al voltant del cercle unitari cada Plantilla:Math unitats de temps, però en direccions oposades.

En matemàtiques, el concepte de freqüència amb signe (freqüència negativa i positiva) pot indicar tant la velocitat com el sentit de rotació; pot ser tan senzill com una roda girant en sentit horari o antihorari. La velocitat s'expressa en unitats com ara revolucions (també conegut com cicles) per segon (hertz) o radians/segon (on 1 cicle correspon a 2 π radians).

Exemple: matemàticament parlant, el vector $(\cos (t),\sin (t))$ té una freqüència positiva de +1 radian per unitat de temps i gira en sentit contrari a les agulles del rellotge al voltant del cercle unitari, mentre que el vector $(\cos (-t),\sin (-t))$ té una freqüència negativa de -1 radian per unitat de temps, que gira en el sentit de les agulles del rellotge.

Sinusoides

Una freqüència negativa fa que la funció sin (violeta) lideri el cos (vermell) en 1/4 de cicle.

Sigui Plantilla:Math una freqüència angular amb unitats de radians/segon. Aleshores la funció Plantilla:Math té pendent Plantilla:Math, que s'anomena freqüència negativa. Però quan la funció s'utilitza com a argument d'un operador cosinus, el resultat no es pot distingir de Plantilla:Math. De la mateixa manera, Plantilla:Math no es pot distingir de Plantilla:Math. Així, qualsevol sinusoide es pot representar en termes de freqüència positiva. El signe del pendent de fase subjacent és ambigu.

L'ambigüitat es resol quan els operadors cosinus i sinus es poden observar simultàniament, perquè Plantilla:Math porta Plantilla:Math perPlantilla:Frac cicle (és a dirPlantilla:Frac radians) quan Plantilla:Math, i es retardaPlantilla:Frac cicle quan Plantilla:Math. De la mateixa manera, un vector, Plantilla:Math, gira en sentit contrari a les agulles del rellotge si Plantilla:Math, i en sentit horari si Plantilla:Math. Per tant, el signe de $\omega$ també es conserva a la funció de valors complexos:Plantilla:Equation box 1el corol·lari del qual és:Plantilla:Equation box 1

$z=r{e}^{i\varphi }=x+iy$

A Plantilla:EquationNote el segon terme és un afegit a $\cos (\omega t)$ que resol l'ambigüitat. A Plantilla:EquationNote el segon terme sembla una addició, però en realitat és una cancel·lació que redueix un vector bidimensional a una sola dimensió, donant lloc a l'ambigüitat. Plantilla:EquationNote també mostra per què la transformada de Fourier té respostes a totes dues $\pm \omega ,$ encara que $\omega$ només pot tenir un signe. El que fa la resposta falsa és permetre que la transformada inversa distingeixi entre una funció de valor real i una de complexa.

Aplicacions

Simplificació de la transformada de Fourier

Potser l'aplicació més coneguda de la freqüència negativa és la fórmula:

$\hat{f}(\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-i\omega t}dt,$

que és una mesura de l'energia en funció $f(t)$ a la freqüència $\omega .$ Quan s'avalua per a un continu d'arguments $\omega ,$ el resultat s'anomena transformada de Fourier.

Mostreig de freqüències positives i negatives i aliasing

Aquesta figura representa dos sinusoides complexos, de color or i cian, que s'ajusten als mateixos conjunts de punts de mostra reals i imaginaris. Per tant, són àlies entre si quan es mostren a la velocitat (f _s ) indicada per les línies de la quadrícula. La funció de color daurat representa una freqüència positiva, perquè la seva part real (la funció cos) lidera la seva part imaginària en 1/4 d'un cicle. La funció cian representa una freqüència negativa, perquè la seva part real queda endarrerida amb la part imaginària.