Funció X i Y de Chandrasekhar

En la radiació atmosfèrica, la funció X i Y de Chandrasekhar apareix com les solucions dels problemes que comporten reflexió difusa i transmissió, introduïda per l'astrofísic indi-americà Subrahmanyan Chandrasekhar. La funció X i Y de Chandrasekhar $X(\mu ),Y(\mu )$ definida a l'interval $0\le \mu \le 1$, satisfà la parella d'equacions integrals no lineals:

$\begin{array}{cc}X(\mu )& =1+\mu \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{\Psi }({\mu }^{\prime })}{\mu +{\mu }^{\prime }}[X(\mu )X({\mu }^{\prime })-Y(\mu )Y({\mu }^{\prime })]d{\mu }^{\prime },\\ Y(\mu )& =e^{-{\tau }_1/\mu }+\mu \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{\Psi }({\mu }^{\prime })}{\mu -{\mu }^{\prime }}[Y(\mu )X({\mu }^{\prime })-X(\mu )Y({\mu }^{\prime })]d{\mu }^{\prime }\end{array}$

on la funció característica $\mathrm{\Psi }(\mu )$ és un polinomi parell $\mu$ que generalment compleixen la condició

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{\Psi }(\mu )d\mu \le \frac{1}{2},$

i $0<{\tau }_1<\mathrm{\infty }$ és el gruix òptic de l'atmosfera. Si la igualtat es compleix en la condició anterior, s'anomena cas conservador, altrament cas no conservador. Aquestes funcions estan relacionades amb la funció H de Chandrasekhar

$X(\mu )\to H(\mu ),Y(\mu )\to 0\text{com}{\tau }_1\to \mathrm{\infty }$

i també

$X(\mu )\to 1,Y(\mu )\to e^{-{\tau }_1/\mu }\text{com}{\tau }_1\to 0.$

Aproximació

La funcio $X$ i $Y$ es pot aproximar fins al n-èsim grau com

$\begin{array}{cc}X(\mu )& =\frac{(-1{)}^n}{{\mu }_1\cdots {\mu }_n}\frac{1}{[C_0^2(0)-C_1^2(0){]}^{1/2}}\frac{1}{W(\mu )}[P(-\mu )C_0(-\mu )-e^{-{\tau }_1/\mu }P(\mu )C_1(\mu )],\\ Y(\mu )& =\frac{(-1{)}^n}{{\mu }_1\cdots {\mu }_n}\frac{1}{[C_0^2(0)-C_1^2(0){]}^{1/2}}\frac{1}{W(\mu )}[e^{-{\tau }_1/\mu }P(\mu )C_0(\mu )-P(-\mu )C_1(-\mu )]\end{array}$

on $C_0$ i $C_1$ són dos polinomis bàsics de grau n (Consulteu l'equació de Chandrasekhar capítol VIII (97)), $P(\mu )=\prod _{i=1}^n(\mu -{\mu }_i)$ on ${\mu }_i$ són els zeros dels polinomis de Legendre i $W(\mu )=\prod _{\alpha =1}^n(1-k_{\alpha }^2{\mu }^2)$, on $k_{\alpha }$ són les arrels positives i no desaparegudes de l'equació característica associada

$1=2\sum _{j=1}^n\frac{a_j\mathrm{\Psi }({\mu }_j)}{1-k^2{\mu }_j^2}$

on $a_j$ són els pesos de quadratura donats per

$a_j=\frac{1}{P_{2^{\prime }n}({\mu }_j)}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{P_{2n}({\mu }_j)}{\mu -{\mu }_j}d{\mu }_j$

Propietats

• Si $X(\mu ,{\tau }_1),Y(\mu ,{\tau }_1)$ són les solucions per a un valor particular de ${\tau }_1$, llavors les solucions per a altres valors de ${\tau }_1$ s'obtenen de les següents equacions integro-diferencials

$\begin{array}{cc}\frac{\partial X(\mu ,{\tau }_1)}{\partial {\tau }_1}& =Y(\mu ,{\tau }_1)\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{d{\mu }^{\prime }}{{\mu }^{\prime }}\mathrm{\Psi }({\mu }^{\prime })Y({\mu }^{\prime },{\tau }_1),\\ \frac{\partial Y(\mu ,{\tau }_1)}{\partial {\tau }_1}+\frac{Y(\mu ,{\tau }_1)}{\mu }& =X(\mu ,{\tau }_1)\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{d{\mu }^{\prime }}{{\mu }^{\prime }}\mathrm{\Psi }({\mu }^{\prime })Y({\mu }^{\prime },{\tau }_1)\end{array}$

• $\underset{0}{\overset{1}{\int }}X(\mu )\mathrm{\Psi }(\mu )d\mu =1-{[1-2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{\Psi }(\mu )d\mu +{\{\underset{0}{\overset{1}{\int }}Y(\mu )\mathrm{\Psi }(\mu )d\mu \}}^2]}^{1/2}.$ En casos conservadors, aquesta integral pròpia es redueix a $\underset{0}{\overset{1}{\int }}[X(\mu )+Y(\mu )]\mathrm{\Psi }(\mu )d\mu =1.$
• Si s'introdueixen les simplificacions $x_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}X(\mu )\mathrm{\Psi }(\mu ){\mu }^{n}d\mu ,y_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}Y(\mu )\mathrm{\Psi }(\mu ){\mu }^{n}d\mu ,{\alpha }_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}X(\mu ){\mu }^{n}d\mu ,{\beta }_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}Y(\mu ){\mu }^{n}d\mu$, llavors tenim una relació que indica $(1-x_0)x_2+y_0{y}_2+\frac{1}{2}(x_1^2-y_1^2)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{\Psi }(\mu ){\mu }^{2}d\mu .$ En el cas conservador, això es redueix a $y_0(x_2+y_2)+\frac{1}{2}(x_1^2-y_1^2)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{\Psi }(\mu ){\mu }^{2}d\mu$
• Si la funció característica és $\mathrm{\Psi }(\mu )=a+b{\mu }^2$, on $a,b$ són dues constants, aleshores tenim ${\alpha }_0=1+\frac{1}{2}[a({\alpha }_0^2-{\beta }_0^2)+b({\alpha }_1^2-{\beta }_1^2)]$.
• En els casos conservadors, les solucions no són úniques. Si $X(\mu ),Y(\mu )$ són solucions de l'equació original, llavors també són les solucions d'aquestes dues funcions $F(\mu )=X(\mu )+Q\mu [X(\mu )+Y(\mu )],G(\mu )=Y(\mu )+Q\mu [X(\mu )+Y(\mu )]$, on $Q$ és una constant arbritària.