Funció d'Heun

En matemàtiques, la funció d'Heun local H⁢ℓ(a,q;α,β,γ,δ;z) (Karl L. W. Heun (1889)) és la solució de lPlantilla:'equació diferencial d'Heun que és holomorfa i 1 en el punt singular z = 0. La funció d'Heun local s'anomena funció d'Heun (denotat Hf), si també és regular en z = 1, i s'anomena polinomi d'Heun (denotat Hp) si és regular en els tres punts singulars finits z = 0, 1, a.

Equació d'Heun

L'equació de Heun és una equació diferencial ordinària (EDO) lineal de segon ordre de la forma

$\frac{d^{2}w}{d{z}^2}+[\frac{\gamma }{z}+\frac{\delta }{z-1}+\frac{ϵ}{z-a}]\frac{dw}{dz}+\frac{\alpha \beta z-q}{z(z-1)(z-a)}w=0.$

La condició $ϵ=\alpha +\beta -\gamma -\delta +1$ és necessari per assegurar la regularitat del punt a ∞.

El nombre complex q s'anomena «paràmetre accessori». L'equació de Heun té quatre punts singulars regulars: 0, 1, a i ∞ amb exponents (0, 1 − γ), (0, 1 − δ), (0, 1 − ϵ), and (α, β). Cada EDO lineal de segon ordre del pla complex ampliat amb com a màxim quatre punts singulars regulars, com ara l'equació de Lamé o l'equació diferencial hipergeomètrica, es pot transformar en aquesta equació mitjançant un canvi de variable.

q-anàleg

El q-anàleg de l'equacuó d'Heun va ser descoberta per Plantilla:Harvtxt i estudiada per Plantilla:Harvtxt.

Simetries

L'equació d'Heun té un grup de simetries d’ordre 192, isomòrfiques al grup de Coxeter del diagrama de Coxeter D₄, anàlogues a les 24 simetries de les equacions diferencials hipergeomètriques obtingudes per Kummer. Les simetries que fixen la funció d'Heun local formen un grup isomòrfic d'ordre 24 al grup simètric de 4 punts, de manera que hi ha 192/24 = 8 = 2 × 4 solucions essencialment diferents donades en actuar sobre la funció d'Heun local per aquestes simetries, que donen solucions per a cadascun dels dos exponents per a cadascun dels quatre punts singulars. La llista completa de les 192 simetries va ser donada per Plantilla:Harvtxt mitjançant càlcul amb màquines. Diversos intents anteriors de diversos autors de llistar-los a mà contenien molts errors i omissions; per exemple, la majoria de les 48 solucions locals enumerades per Heun contenen greus errors.

Referències

• Plantilla:Ref-llibre Plantilla:Webarchive
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• Polinomis d'Heine–Stieltjes, una generalització dels polinomis d'Heun.