Funció de Jost

En la teoria de la dispersió, la funció de Jost és el wronskià de la solució regular i la solució irregular (solució de Jost) de l'equació diferencial $-{\psi }^{″}+V\psi =k^2\psi$. Va ser introduïda pel físic teòric suís Res Jost (1918-1990).

Antecedents

Es buscaven solucions $\psi (k,r)$de l'equació de Schrödinger radial en el cas $\ell =0$,

$-{\psi }^{″}+V\psi =k^2\psi .$

Solucions regulars i irregulars

Una solució regular $\phi (k,r)$ és aquella que compleix les condicions de contorn,

$\begin{array}{cc}\phi (k,0)& =0\\ {{\phi }_r}^{\prime }(k,0)& =1.\end{array}$

Si $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}r|V(r)|<\mathrm{\infty }$, la solució es dona com a equació integral de Volterra,

$\phi (k,r)=k^{-1}\sin (kr)+k^{-1}\underset{0}{\overset{r}{\int }}d{r}^{\prime }\sin (k(r-r^{\prime }))V(r^{\prime })\phi (k,r^{\prime }).$

Tenim dues solucions irregulars (de vegades anomenades solucions de Jost) $f_{\pm }$ amb un comportament asimptòtic $f_{\pm }=e^{\pm ikr}+o(1)$ com $r\to \mathrm{\infty }$. Ells son donades per l'equació integral de Volterra,

$f_{\pm }(k,r)=e^{\pm ikr}-k^{-1}\underset{r}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{r}^{\prime }\sin (k(r-r^{\prime }))V(r^{\prime })f_{\pm }(k,r^{\prime }).$

Si $k\ne 0$, llavors $f_{+},f_{-}$ són linealment independents. Com que són solucions a una equació diferencial de segon ordre, cada solució (en particular $\phi$) es poden escriure com una combinació lineal entre elles.

Definició de la funció de Jost

La funció de Jost és:

$\omega (k):=W(f_{+},\phi )\equiv {{\phi }_r}^{\prime }(k,r)f_{+}(k,r)-\phi (k,r)f_{{+}^{\prime },x}(k,r)$,

on $W$ és el wronskià. Com que $f_{+},\phi$ les dues solucions a la mateixa equació diferencial, el wronskià és independent de $r$. Així que avaluant a $r=0$ i utilitzant les condicions del contorn a $\phi$ produeix $\omega (k)=f_{+}(k,0)$.

Aplicacions

La funció de Jost es pot utilitzar per construir les funcions de Green per a

$[-\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+V(r)-k^2]G=-\delta (r-r^{\prime }).$

De fet,

$G^{+}(k;r,r^{\prime })=-\frac{\phi (k,r\wedge r^{\prime })f_{+}(k,r\vee r^{\prime })}{\omega (k)},$

on $r\wedge r^{\prime }\equiv \min (r,r^{\prime })$ i $r\vee r^{\prime }\equiv \max (r,r^{\prime })$.

Referències

• Plantilla:Ref-llibre.
• Plantilla:Ref-llibre