Funció de Txebixov

La funció Plantilla:Math, amb Plantilla:Math.

En matemàtiques, la funció de Txebixov és una funció escalar (funció Tchebycheff) o una de les dues funcions relacionades. La primera funció de Txebixov Plantilla:Math o Plantilla:Math ve donada per

$\vartheta (x)=\sum _{p\le x}\ln p$

on $\ln$ denota el logaritme natural, amb la suma que s'estén per tots els nombres primers Plantilla:Mvar que són menors o iguals a Plantilla:Mvar.

La segona funció de Txebixov Plantilla:Math es defineix de manera similar, amb la suma que s'estén per totes les potències primeres que no superen Plantilla:Mvar $\psi (x)=\sum _{k\in \mathbb{N}}\sum _{p^k\le x}\ln p=\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n)=\sum _{p\le x}\lfloor {\log }_{p}x\rfloor \ln p,$

on Plantilla:Math és la funció de von Mangoldt. Les funcions de Txebixev, especialment la segona Plantilla:Math, s'utilitzen sovint en demostracions relacionades amb nombres primers, perquè normalment és més senzill treballar amb elles que amb la funció de recompte primers, Plantilla:Math. Les dues funcions de Txebixov són asimptòtiques Plantilla:Mvar, enunciat equivalent al teorema dels nombres primers.

La funció Tchebycheff, la funció d' utilitat de Txebixov o la funció escalaritzadora de Tchebycheff ponderada s'utilitza quan s'han de minimitzar diverses funcions i es volen "escalaritzar" a una única funció: $f_{Tchb}(x,w)=\underset{i}{\max }{w}_i{f}_i(x).$Minimitzant aquesta funció per a diferents valors de $w$, s'obté tots els punts d'un front de Pareto, fins i tot a les parts no convexes. Sovint les funcions a minimitzar no ho són $f_i$ però $|f_i-z_i^{*}|$ per a alguns escalars $z_i^{*}$. Aleshores $f_{Tchb}(x,w)=\underset{i}{\max }{w}_i|f_i(x)-z_i^{*}|.$

Les tres funcions reben el seu nom en honor de Pafnuti Txebixov.