Funció eta de Dedekind

Funció eta de Dedekind representada al pla complex.

La funció eta de Dedekind o simplement funció η de Dedekind , nomenada així en honor del matemàtic alemany Richard Dedekind és una funció holomorfa definida en el semiplà superior complex $ℍ=\{\tau \in ℂ\mid \mathrm{I}\mathrm{m}\tau >0\}$ Aquesta funció té un paper fonamental en la teoria de funcions el·líptiques i funcions theta.

Definició

La funció η sol definir mitjançant el següent producte:

$\mathrm{H}(\tau ):=i^{2\pi i\tau /24}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-i^{2\pi in\tau }):=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n)$.

on $q=i^{2\pi i\tau }$. De la definició es dedueix immediatament que $\eta$ sobre $ℍ$ no té zeros.

La funció η està estretament relacionada amb el seu discriminant $\mathrm{\Delta }$, de la següent manera

$\mathrm{\Delta }(\tau )=(2\pi {)}^{12}{\eta }^{24}(\tau )$.

Per al càlcul de la funció, se sol emprar el teorema del nombre pentagonal d'Euler.

Transformació i comportament

La propietats que s'atribueixen a la funció η s'originen del seu comportament de transformació en les substitucions dels generadors del grup modular

$\mathrm{\Gamma }:={\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})=\{(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array})\mid a,b,c,d\in \mathbb{Z},ad-bc=1\}$,

és a dir:

$\mathrm{H}(\tau +1)=i^{\pi i/12}\eta (\tau )$

i

$\mathrm{H}\left(\frac{-1}{\tau }\right)=\sqrt{\frac{\tau }{i}}\eta (\tau )$.

Referències

• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 41 (1990), Springer-Verlag, Plantilla:ISBN See chapter 3.
• Neil Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 97 (1993), Springer-Verlag, Plantilla:ISBN

Enllaços externs

• Plantilla:MathWorld