Funció homogènia

En matemàtica, una funció homogènia és una funció que presenta un comportament multiplicador d'escala interessant: si tots els arguments es multipliquen per un factor constant, llavors el valor de la funció resulta ser un cert nombre de vegades el factor multiplicador elevat a una potència. Aquesta potència és el grau de la funció homogènia (vegeu #Definició formal).

Definició formal

Suposem una funció la definició de la qual és $f:V\to W$ entre dos espais vectorials sobre el mateix cos $F$. Llavors es diu que $f$ és homogènia de grau k si: Plantilla:Equació

Exemples

Les funcions lineals

Qualsevol funció lineal $f:V\to W$ és homogènia de grau 1, ja que per definició es té: Plantilla:Equació per a tot $\alpha \in F$ i $𝐯\in V$. De la mateixa manera, qualsevol funció multilineal $f:V_1\times \dots \times V_n\to W$ és homogènia de grau n, per definició. Plantilla:Equació per a tot $\alpha \in F$ i ${𝐯}_1\in V_1,\dots ,{𝐯}_n\in V_n$. Se segueix que la n-èsima derivada de Fréchet d'una funció $f:X\to Y$ entre dos espais de Banach $X$ i $Y$ és homogènia de grau n.

Polinomis homogenis

Els monomis en $n$ variables reals defineixen funcions homogènies $f:{ℝ}^n\to ℝ$. Per exemple, Plantilla:Equació és homogènia de grau 10, ja que: Plantilla:Equació Un polinomi homogeni és un polinomi fet d'una suma de monomis del mateix grau. Per exemple, Plantilla:Equació és un polinomi homogeni de grau 5.

Propietats

• El teorema d'Euler sobre funcions homogènies estableix:

• Suposem que $f:{ℝ}^n\to ℝ$ és diferenciable i homogènia de grau k. Llavors les seves derivades parcials de primer ordre $\partial f/\partial x_i$ són funcions homogènies de grau k-1.

Les demostracions d'aquests dos resultats són semblants. Per demostrar el segon, s'escriu $f=f(x_1,\dots ,x_n)$ i es pren l'equació Plantilla:Equació Definint $x_i=\alpha y_i$ i derivant respecte a $y_i$, trobem per la regla de la cadena que: Plantilla:Equació I per tant: Plantilla:Equació I finalment: Plantilla:Equació

Aplicació a les EDOs

Si $I$ i $J$ són funcions homogènies del mateix grau, la substitució $v=y/x$ converteix l'equació diferencial ordinària (EDO) Plantilla:Equació en l'equació diferencial separable: Plantilla:Equació

Referències

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre

Enllaços externs

• Funció homogènia a Planet Math Plantilla:En
• Plantilla:Springer