Funció logarítmica convexa

En matemàtiques, una funció $f$ definida en un subconjunt convex d'un espai vectorial real i prenent valors positius es diu que és logarítmicament convexa o superconvexa si la composició de la funció logarítmica amb $f$, $\log \circ f$, és una funció convexa; el logaritme retarda dràsticament el creixement de la funció original $f$, de manera que si la composició encara conserva la propietat de convexitat això significa que la funció original $f$ era «realment convexa», d'aquí el terme «superconvexa».

Una funció logarítmica convexa $f$ és una funció convexa, ja que és el compost de la funció convexa creixent $\exp$ i de la funció $\log \circ f$, que se suposa que és convex. Però això no sempre és cert: per exemple $g:x\mapsto x^2$ és una funció convexa, però $\log \circ g:x\mapsto \log x^2=2\log |x|$ no és una funció convexa i, per tant, $g$ no és logarítmicament convexa. Per altra banda, $x\mapsto e^{x^2}$ és logarítmicament convexa només si $x\mapsto \log e^{x^2}=x^2$ és convexa.

Un exemple important d'una funció logarítmica convexa és la funció gamma en els reals positius (vegeu també el teorema de Bohr-Mollerup).

Definició formal

Sigui $I$ un interval real i $f:I\to {ℝ}_{+}^{*}$. Es diu que $f$ és logarítmicament convexa si, per a tots els punts $x,y$ de $I$ i tot $\lambda \in [0,1]$, existeix la desigualtat següent:

$\ln (f(\lambda x+(1-\lambda )y))\le \lambda \ln (f(x))+(1-\lambda )\ln (f(y))$,

o encara, prenent l'exponencial:

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\le {(f(x))}^{\lambda }{(f(y))}^{1-\lambda }$.

Igualment, $f$ és logarítmicament convexa si per a tot l'interval no trivial $[x,y]\subset I$, els reals $\beta ,\gamma >0$ determinats per ${\gamma }^{x}f(x)={\gamma }^{y}f(y)=\beta$ verifiquen:

$\mathrm{\forall }t\in [x,y]{\gamma }^{t}f(t)\le \beta$.

Exemples

• Per a tot Plantilla:Math, l'exponencial de base a és logarítmicament convexa.
• La funció generadora de moments és logarítmicament convexa.
• Per a tota mesura Plantilla:Math (sobre un espai mesurable) i tota funció $f$ ∈ L^p(μ)∩L^q(μ) amb Plantilla:Math, l'aplicació $r\mapsto {\Vert f\Vert }_r$ és logarítmicament convexa sobre Plantilla:Math.
• La funció gamma és logarítmicament convexa sobre ${ℝ}_{+}^{*}$. Una característica de la funció gamma per la log-convexitat, es donada pel teorema de Bohr-Mollerup.
• La funció zeta de Rieman és logarítmicament convexa sobre $]1,+\mathrm{\infty }[$.

Una caracterització

Plantilla:Quotation Fixem un interval no trivial $[x,y]\subset I$ i demostrem, per a tot $t\in [x,y]$, l'equivalència $P(t)\iff Q(t)$, on els predicats $P,Q$ tradueixen la convexitat logarítmica de $f$ i la convexitat de $s\mapsto c^{s}f(s)$ per a tot $c>0$ :

$P(t):{\gamma }^{t}f(t)\le \beta ,Q(t):\mathrm{\forall }c>0c^{t}f(t)\le a_{c}t+b_c$,

els reals $\beta ,\gamma >0,a_c,b_c$ estan determinats per

${\gamma }^{x}f(x)={\gamma }^{y}f(y)=\beta ,c^{x}f(x)=a_{c}x+b_c\text{ et }{c}^{y}f(y)=a_{c}y+b_c.$

• $Q(t)\Rightarrow P(t)$ perquè $a_{\gamma }=0$ i $b_{\gamma }=\beta$.
• $P(t)\Rightarrow Q(t)$ perquè si ${\gamma }^{t}f(t)\le \beta$ llavors, per a tot $c>0$, $c^{t}f(t)\le (c/\gamma {)}^t\beta \le a_{c}t+b_c$, perquè $s\mapsto (c/\gamma {)}^s\beta$ és convexa i coincideix amb $s\mapsto a_{c}s+b_c$ als punts $s=x$ et $s=y$.

Propietats

• Tota funció logarítmicament convexa és convexa. En la funció inversa és fals, tal com mostra el contraexemple clàssic de la funció x ↦ x².
• La suma i el producte de dues funcions logarítmicament convexes són logarítmicament convexes. Aquestes dues propietats es dedueixen del fet que la suma de dues funcions convexes és convexa, usant l'equació funcional logarítmica per a l'estabilitat del producte i la caracterització anterior per a l'estabilitat de la suma.

Generalització a les funcions d'una variable vectorial

Sigui $E$ un espai vectorial real $C$ un convex de $E$. Una aplicació $f:C\to {ℝ}_{+}^{*}$ s'anomena logarítmicament convexa si $\ln \circ f$ és [[Funció convexa|convexa sobre Plantilla:Math]].

Les dues propietats anteriors s'estenen immediatament a aquest marc, ja que una funció és convexa sobre $C$ si, i només si, la seva «restricció» $t\mapsto f(tA+(1-t)B)$a tot el segment $[A,B]\subset C$ és una funció convexa de la variable real Plantilla:Math.

De la mateixa manera, és fàcil deduir de la caracterització anterior que una aplicació $f$ és logarítmicament convexa sobre est $C$ si, i només si, per a tota forma lineal $\phi$ sobre $E$, l'aplicació $C\to ℝ,x\mapsto {\mathrm{e}}^{\phi (x)}f(x)$ és convexa.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• Funció logarítmica còncava
• Teorema dels tres cercles de Hadamard