Funció zeta d'Igusa

En matemàtiques, una funció zeta d'Igusa és un tipus de funció generatriu, que compta el nombre de solucions d'una equació, mòdul p, p2, p3, i així successivament.

Definició

Per a un nombre primer $p$ sigui $K$ un cos p-àdic, és a dir, $[K:{\mathbb{Q}}_p]<\mathrm{\infty }$, $R$ l'anell de valuació i $P$ l'ideal màxim. Per a $z\in K$ $\mathrm{ord}(z)$ expressa la valuació de $z$, $\mid z\mid =q^{-\mathrm{ord}(z)}$, i $ac(z)=z{\pi }^{-\mathrm{ord}(z)}$ per a un paràmetre uniformitzant $\pi$ de $R$.

Sigui $\varphi :K^n\mapsto ℂ$ una funció de Schwartz-Bruhat, és a dir una funció constant local amb suport compacte i sigui $\chi$ un caràcter de $K*$.

En aquest cas s'associa un polinomi no constant $f(x_1,\dots ,x_n)\in K[x_1,\dots ,x_n]$ a la funció zeta d'Igusa

$Z_{\varphi }(s,\chi )=\underset{K^n}{\int }\varphi (x_1,\dots ,x_n)\chi (ac(f(x_1,\dots ,x_n)))|f(x_1,\dots ,x_n){|}^{s}dx$

on $s\in ℂ,\mathrm{Re}(s)>0,$ i $dx$ és una mesura de Haar normalitzada de manera que $R^n$ posseeix una mesura unitària.

Teorema d'Igusa

Junichi Igusa va demostrar que $Z_{\varphi }(s,\chi )$ és una funció racional en $t=q^{-s}$.

La demostració utilitza el teorema de Heisuke Hironaka sobre la resolució de singularitats. No obstant això, se sap molt poc, pel que fa a fórmules explícites. (Hi ha alguns resultats sobre les funcions zeta d'Igusa de varietats de Fermat).

Congruències mòdul potències de $P$

Per tant, sigui $\varphi$ la funció característica de $R^n$ i $\chi$ el caràcter trivial. Fem $N_i$ el nombre de solucions de la congruència

$f(x_1,\dots ,x_n)\equiv 0mod{P}^i$.

Llavors, la funció zeta d'Igusa

$Z(t)=\underset{R^n}{\int }|f(x_1,\dots ,x_n){|}^{s}dx$

està relacionada amb les sèries de Poincaré

$P(t)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^{-in}{N}_i{t}^i$

per

$P(t)=\frac{1-tZ(t)}{1-t}.$

Referències

• Plantilla:Citar ref
• La informació per a aquest article ha estat presa de J. Denef, Report on Igusa's Local Zeta Function, Séminaire Bourbaki 43 (1990-1991), exp. 741; Astérisque 201-202-203 (1991), 359-386 Plantilla:Webarchive