Funció zeta de Lefschetz

En matemàtiques, la funció zeta de Lefschetz és una eina utilitzada en topologia periòdica, en la teoria del punt fix, i en sistemes dinàmics.

Donat un mapatge $f$, la funció zeta de Lefschetz es defineix per la sèrie

${\zeta }_f(z)=\exp (\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}L(f^n)\frac{z^n}{n}),$

on $L(f^n)$ és el nombre de Lefschetz de la $n$-iterada de $f$.

Aquesta funció zeta és important en la teoria topològica periòdica perquè és un invariant singular conté informació sobre totes les iterades de $f$.

Exemples

El mapa d'identitat en $X$ posseeix la següent funció zeta de Lefschetz:

$\frac{1}{(1-t{)}^{\chi (X)}},$

on $\chi (X)$ és la característica d'Euler de $X$, és a dir, el nombre de Lefschetz del mapa d'identitat.

Un exemple menys trivial és el següent. Si es considera com a espai el cercle unitari ($X=S^1$) i sigui $f$ la seva reflexió en l'eix $x$, o expressat d'una altra manera $f(\theta )=-\theta$, llavors $f$ posseeix un nombre de Lefschetz igual a $2$, i $f^2$ és el mapa d'identitat, que té per nombre de Lefschetz el $0$. Totes les iterades senars posseeixen un nombre de Lefschetz igual a $2$, i totes les iterades parelles posseeixen un nombre de Lefschetz igual a $0$. Per tant, la funció zeta de $f$ és

$\begin{array}{cc}{\zeta }_f(t)& =\exp \left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2t^{2n+1}}{2n+1}\right)\\ & =\exp (\left\{2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n}{n}\right\}-\left\{2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^{2n}}{2n}\right\})\\ & =\exp (-2\log (1-t)+\log (1-t^2))\\ & =\frac{1-t^2}{(1-t{)}^2}\\ & =\frac{1+t}{1-t}\end{array}$

Fórmula

Si $f$ és un mapa continu en una varietat compacta $X$ de dimensió $n$ (o en forma més general tot poliedre compacte), la funció zeta Lefschetz queda expressada per la fórmula

${\zeta }_f(t)=\prod _{i=0}^n\det (1-t{f}_{\ast }|H_i(X,𝐐){)}^{(-1{)}^{i+1}}.$

La qual és una funció racional. Els polinomis del numerador i del denominador són essencialment els polinomis característics del mapa induït per $f$ en els diversos espais homòlegs.

Connexions

Aquesta funció generatriu és essencialment una forma algebraica de la funció zeta d'Artin-Mazur, la qual proveeix informació geomètrica sobre els punts fixos i periòdics de $f$.

Referències

• Plantilla:Ref-llibre arXiv: chao-dyn/9603017

Vegeu també

• Funció zeta d'Artin-Mazur
• Solomon Lefschetz
• Teorema del punt fix de Lefschetz