Funció H de Chandrasekhar

La funció H de Chandrasekhar per a diferents albedos

En la radiació atmosfèrica, la funció H de Chandrasekhar (també coneguda com a funció H d'Ambartsumian o funció H de Busbridge) apareix com la solució de problemes relacionats amb la dispersió, introduïda per l'astrofísic indi estatunidenc Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995). La funció H de Chandrasekhar $H(\mu )$ definida a l'interval $0\le \mu \le 1$, satisfà la següent equació integral no-lineal

$H(\mu )=1+\mu H(\mu )\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{\Psi }({\mu }^{\prime })}{\mu +{\mu }^{\prime }}H({\mu }^{\prime })d{\mu }^{\prime }$

on la funció característica $\mathrm{\Psi }(\mu )$ és un polinomi parcial en $\mu$ que compleix la següent condició

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{\Psi }(\mu )d\mu \le \frac{1}{2}$.

Si la igualtat es compleix en la condició anterior s'anomena cas conservador, altrament no-conservador. L'albedo és donat per ${\omega }_o=2\mathrm{\Psi }(\mu )=\text{constant}$. Chandrasekhar va obtenir una forma alternativa que és més útil per calcular numèricament la funció H, derivant per iteració de la següent manera:

$\frac{1}{H(\mu )}={[1-2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{\Psi }(\mu )d\mu ]}^{1/2}+\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\mu }^{\prime }\mathrm{\Psi }({\mu }^{\prime })}{\mu +{\mu }^{\prime }}H({\mu }^{\prime })d{\mu }^{\prime }$.

En el cas conservador, l'equació anterior es redueix a:

$\frac{1}{H(\mu )}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\mu }^{\prime }\mathrm{\Psi }({\mu }^{\prime })}{\mu +{\mu }^{\prime }}H({\mu }^{\prime })d{\mu }^{\prime }$.

Aproximació

La funció H es pot aproximar fins a un ordre $n$:

$H(\mu )=\frac{1}{{\mu }_1\cdots {\mu }_n}\frac{\prod _{i=0}^n(\mu +{\mu }_i)}{\prod _{\alpha }(1+k_{\alpha }\mu )}$

on ${\mu }_i$ són els zeros dels polinomis de Legendre $P_{2n}$ i $k_{\alpha }$ són les arrels positives i no desaparegudes de l'equació característica associada

$1=2\sum _{j=1}^n\frac{a_j\mathrm{\Psi }({\mu }_j)}{1-k^2{\mu }_j^2}$

on $a_j$ són els pesos de quadratura donats per

$a_j=\frac{1}{P_{2^{\prime }n}({\mu }_j)}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{P_{2n}({\mu }_j)}{\mu -{\mu }_j}d{\mu }_j$

Solució explícita al pla complex

En variable complexa $z$, les equacions H són:

$H(z)=1-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{z}{z+\mu }H(\mu )\mathrm{\Psi }(\mu )d\mu ,\underset{0}{\overset{1}{\int }}|\mathrm{\Psi }(\mu )|d\mu \le \frac{1}{2},\underset{0}{\overset{\delta }{\int }}|\mathrm{\Psi }(\mu )|d\mu \to 0,\delta \to 0$

llavors per $\mathrm{\Re }(z)>0$, una solució única ve donada per

$\ln H(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{-i\mathrm{\infty }}{\overset{+i\mathrm{\infty }}{\int }}\ln T(w)\frac{z}{w^2-z^2}dw$

on la part imaginària de la funció $T(z)$ pot desaparèixer si $z^2$ és real; per exemple, $z^2=u+iv=u(v=0)$. Llavors s'obté

$T(z)=1-2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{\Psi }(\mu )d\mu -2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\mu }^2\mathrm{\Psi }(\mu )}{u-{\mu }^2}d\mu$

La solució anterior és única i està delimitada en l'interval $0\le z\le 1$ per a casos conservadors. En casos no-conservadors, si l'equació $T(z)=0$ admet les arrels $\pm 1/k$, hi ha una altra solució:

$H_1(z)=H(z)\frac{1+kz}{1-kz}$

Propietats

• $\underset{0}{\overset{1}{\int }}H(\mu )\mathrm{\Psi }(\mu )d\mu =1-{[1-2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{\Psi }(\mu )d\mu ]}^{1/2}$. Per als casos conservadors, això es redueix a $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{\Psi }(\mu )d\mu =\frac{1}{2}$.
• ${[1-2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{\Psi }(\mu )d\mu ]}^{1/2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}H(\mu )\mathrm{\Psi }(\mu ){\mu }^{2}d\mu +\frac{1}{2}{[\underset{0}{\overset{1}{\int }}H(\mu )\mathrm{\Psi }(\mu )\mu d\mu ]}^2=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{\Psi }(\mu ){\mu }^{2}d\mu$. Per als casos conservadors, això es redueix a $\underset{0}{\overset{1}{\int }}H(\mu )\mathrm{\Psi }(\mu )\mu d\mu ={[2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{\Psi }(\mu ){\mu }^{2}d\mu ]}^{1/2}$.
• Si la funció característica és $\mathrm{\Psi }(\mu )=a+b{\mu }^2$, on $a,b$ són dues constants (s'han de satisfer $a+b/3\le 1/2$) i si ${\alpha }_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}H(\mu ){\mu }^{n}d\mu ,n\ge 1$ és el n-èsim moment de la funció H, llavors tenim

${\alpha }_0=1+\frac{1}{2}(a{\alpha }_0^2+b{\alpha }_1^2)$

i

$(a+b{\mu }^2)\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{H({\mu }^{\prime })}{\mu +{\mu }^{\prime }}d{\mu }^{\prime }=\frac{H(\mu )-1}{\mu H(\mu )}-b({\alpha }_1-\mu {\alpha }_0)$

Vegeu també

• Funció X i Y de Chandrasekhar

Enllaços externs

• Funció MATLAB per calcular la funció H Plantilla:En