Funció gamma multivariada

En matemàtiques, la funció gamma multivariada Γ_p és una generalització de la funció gamma. És útil en estadística multivariant, que apareixen en la funció de densitat de probabilitat de les distribucions de Wishart i de Wishart inversa, i la distribució matriu variada beta.

Té dues definicions equivalents. Una es dona com la següent integral sobre les matrius definides positives reals $p\times p$:

${\mathrm{\Gamma }}_p(a)=\underset{S>0}{\int }\exp (-\mathrm{t}\mathrm{r}(S)){\left|S\right|}^{a-(p+1)/2}dS,$on S>0 significa que S és una matriu definida positiva.

(vegeu que ${\mathrm{\Gamma }}_1\left(a\right)$es redueix a la funció gamma ordinària).

L'altre, més útil per obtenir un resultat numèric és:

${\mathrm{\Gamma }}_p(a)={\pi }^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^p\mathrm{\Gamma }[a+(1-j)/2].$

A partir d'això, tenim les relacions recursives:

${\mathrm{\Gamma }}_p(a)={\pi }^{(p-1)/2}\mathrm{\Gamma }(a){\mathrm{\Gamma }}_{p-1}(a-\frac{1}{2})={\pi }^{(p-1)/2}{\mathrm{\Gamma }}_{p-1}(a)\mathrm{\Gamma }[a+(1-p)/2].$

Així

• ${\mathrm{\Gamma }}_1(a)=\mathrm{\Gamma }(a)$
• ${\mathrm{\Gamma }}_2(a)={\pi }^{1/2}\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(a-1/2)$
• ${\mathrm{\Gamma }}_3(a)={\pi }^{3/2}\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(a-1/2)\mathrm{\Gamma }(a-1)$

etc...

Derivades

Podem definir la funció digamma multivariada com

${\psi }_p(a)=\frac{\partial \log {\mathrm{\Gamma }}_p(a)}{\partial a}=\sum _{i=1}^p\psi (a+(1-i)/2),$

i la funció poligamma general com a

${\psi }_p^{(n)}(a)=\frac{{\partial }^n\log {\mathrm{\Gamma }}_p(a)}{\partial a^n}=\sum _{i=1}^p{\psi }^{(n)}(a+(1-i)/2).$

Passos de càlcul

• A partir de

${\mathrm{\Gamma }}_p(a)={\pi }^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^p\mathrm{\Gamma }(a+\frac{1-j}{2}),$

s'obté

$\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_p(a)}{\partial a}={\pi }^{p(p-1)/4}\sum _{i=1}^p\frac{\partial \mathrm{\Gamma }(a+\frac{1-i}{2})}{\partial a}\prod _{j=1,j\ne i}^p\mathrm{\Gamma }(a+\frac{1-j}{2}).$

• Per definició de la funció digamma, ψ,

$\frac{\partial \mathrm{\Gamma }(a+(1-i)/2)}{\partial a}=\psi (a+(i-1)/2)\mathrm{\Gamma }(a+(i-1)/2)$

s'obté

$\begin{array}{cc}\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_p(a)}{\partial a}& ={\pi }^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^p\mathrm{\Gamma }(a+(1-j)/2)\sum _{i=1}^p\psi (a+(1-i)/2)\\ & ={\mathrm{\Gamma }}_p(a)\sum _{i=1}^p\psi (a+(1-i)/2).\end{array}$

Bibliografia

• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-llibre