Fórmula d'inversió de Möbius
En matemàtiques, la fórmula clàssica d'inversió de Möbius és una relació entre parells de funcions aritmètiques, definides cadascuna de l' altra per sumes sobre divisors. Va ser introduït a la teoria de nombres el 1832 per August Ferdinand Möbius.[1]
Una gran generalització d'aquesta fórmula s'aplica a la suma sobre un conjunt arbitrari localment finit parcialment ordenat, amb la fórmula clàssica de Möbius aplicant-se al conjunt dels nombres naturals ordenats per divisibilitat: vegeu àlgebra d'incidència.[2]
Enunciat de la fórmula
La versió clàssica afirma que si Plantilla:Mvar i Plantilla:Mvar són funcions aritmètiques satisfactòries
aleshores
on Plantilla:Mvar és la funció de Möbius i les sumes s'estenen sobre tots els divisors positius Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar (indicat per a les fórmules anteriors). En efecte, la Plantilla:Math original es pot determinar donada Plantilla:Math utilitzant la fórmula d'inversió. Es diu que les dues seqüències són transformacions de Möbius l'una de l'altra.[3]
La fórmula també és correcta si Plantilla:Mvar i Plantilla:Mvar són funcions dels nombres enters positius a algun grup abelià (vist com un mòdul Plantilla:Math).
En el llenguatge de les circumvolucions de Dirichlet, la primera fórmula es pot escriure com
on Plantilla:Math denota la convolució de Dirichlet, i Plantilla:Math és la funció constant Plantilla:Math. La segona fórmula s'escriu llavors com
Molts exemples específics es donen a l'article sobre funcions multiplicatives.
El teorema segueix perquè Plantilla:Math és (commutatiu i) associatiu, i Plantilla:Math, on Plantilla:Mvar és la funció d'identitat per a la convolució de Dirichlet, prenent valors Plantilla:Math, Plantilla:Math per a tots els Plantilla:Math. Així
Substituint per , obtenim la versió del producte de la fórmula d'inversió de Möbius