Grup simplèctic

En matemàtiques, el terme grup simplèctic es pot referir a dues col·leccions de grups diferents, però fortament relacionats, denotats per Plantilla:Math i Plantilla:Math; aquest últim s'anomena també grup simplèctic compacte. Alguns autors prefereixen utilitzar notacions lleugerament diferents, que acostumen a diferir en un factor multiplicatiu Plantilla:Math. La notació d'aquest article és consistent amb la dimensió de les matrius utilitzades per representar els grups. En la classificació feta per Cartan sobre les àlgebres de Lie simples, l'àlgebra de Lie del grup complex Plantilla:Math es denota per Plantilla:Math, i Plantilla:Math és la forma real compacta de Plantilla:Math. Notem que, quan parlem del grup simplèctic (compacte), en realitat hom es refereix a la col·lecció de grups simplèctics (compactes) indexats per la seva dimensió Plantilla:Math.

Origen del terme

El nom grup simplèctic es deu a Hermann Weyl: Plantilla:Citació

El terme "simplèctic" és un calc de "complex", introduït per Plantilla:Harvnb; anteriorment, hom es referia al "grup simplèctic" com el "grup complex de rectes". El terme "complex" prové del llatí com-plexus, que significa "trenat" (co- + plexus), mentre que "simplèctic" prové del grec sym-plektikos (συμπλεκτικός); en tots dos casos, el sufix prové de l'arrel indoeuropea *plek-. Aquesta nomenclatura reflecteix les profundes connexions entre estructures complexes i simplèctiques.

Plantilla:Math

El grup simplèctic de grau Plantilla:Math sobre un cos Plantilla:Math, simbolitzat per Plantilla:Math, és el grup de matrius simplèctiques Plantilla:Math a entrades en Plantilla:Math, i on l'operació de grup és la multiplicació de matrius. Com que tota matriu simplèctica té determinant Plantilla:Math, el grup simplèctic és un subgrup del grup lineal especial Plantilla:Math.

Més en general, hom pot definir el grup simplèctic com el conjunt de transformacions lineals d'un espai vectorial de dimensió Plantilla:Math sobre Plantilla:Math que preserven una forma bilineal, antisimètrica i no degenerada. En aquest cas, hom parla d'un espai vectorial simplèctic. El grup simplèctic d'un espai vectorial simplèctic abstracte Plantilla:Math es denota també com Plantilla:Math.

Habitualment, el cos Plantilla:Math és el cos dels nombres reals, Plantilla:Math, o el dels nombres complexos, Plantilla:Math. En aquests casos, Plantilla:Math és un grup de Lie real/complex de dimensió real/complexa Plantilla:Math. Aquests grups són connexos però no compactes.

El centre de Plantilla:Math consisteix en les matrius Plantilla:Math i Plantilla:Math, sempre que la característica no sigui Plantilla:Math. Aquí, Plantilla:Math denota la matriu identitat Plantilla:Math.

El rang real de l'àlgebra de Lie, i per tant, del grup de Lie per Plantilla:Math és Plantilla:Math.

La condició que una matriu simplèctica preservi la forma simplèctica es pot escriure com:

$S\in \mathrm{Sp}(2n,F)$ si i només si $S^{\text{T}}\mathrm{\Omega }S=\mathrm{\Omega }$

on A^T és la matriu transposada de A, i:

$\mathrm{\Omega }=\left(\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right)$.

L'àlgebra de Lie de Plantilla:Math ve donada pel conjunt de matrius A Plantilla:Math (a entrades en F) que satisfan:

$\mathrm{\Omega }A+A^{\mathrm{T}}\mathrm{\Omega }=0$.

Quan Plantilla:Math, la condició simplèctica sobre una matriu se satisfà si i només si el determinant és 1, de tal manera que Plantilla:Math. Per a Plantilla:Math, existeixen condicions addicionals; és a dir, Plantilla:Math és un subgrup propi de Plantilla:Math.

Plantilla:Math

El grup simplèctic sobre el cos dels complexos és un grup de Lie simple, simplement connex i no compacte.

Plantilla:Math

Plantilla:Math és la complexificació del grup real Plantilla:Math. Plantilla:Math és un grup de Lie real, no compacte i connex. Té un grup fonamental isomorf al grup dels enters amb la suma. De la mateixa manera que la forma real d'un grup de Lie simple, la seva àlgebra de Lie és una àlgebra de Lie separable.

Algunes propietats addicionals de Plantilla:Math són:

• L'aplicació exponencial de l'àlgebra de Lie $𝔰𝔭(2n,ℝ)$ en el grup Plantilla:Math no és suprajectiva. No obstant això, qualsevol element del grup es pot generar per la multiplicació de grup de dos elements. En altres paraules,

$\mathrm{\forall }S\in \mathrm{Sp}(2n,ℝ)\mathrm{\exists }X,Y\in 𝔰𝔭(2n,ℝ)\text{ tal que }S=e^X{e}^Y$.

• Per a tot Plantilla:Math de Plantilla:Math:

$S=OZ{O}^{\prime }\text{tal que}O,O^{\prime }\in \mathrm{Sp}(2n,ℝ)\cap \mathrm{SO}(2n)\cong U(n)\text{i}Z=\left(\begin{array}{cc}D& 0\\ 0& D^{-1}\end{array}\right)$.

La matriu Plantilla:Math és definida positiva i diagonal. El conjunt d'aquestes matrius Plantilla:Math forma un subgrup no compacte de Plantilla:Math, mentre que Plantilla:Math forma un subgrup compacte. Aquesta factorització es coneix com a descomposició d'Euler o de Bloch-Messiah.

• Com a grup de Lie, Plantilla:Math té una estructura de varietat. La varietat per a Plantilla:Math is difeomorfa al producte cartesià del grup unitari Plantilla:Math amb un espai vectorial de dimensió Plantilla:Math.

Generadors infinitesimals

Els membres de l'àlgebra de Lie simplèctica $𝔰𝔭(2n,𝐅)$ són les matrius hamiltonianes. Aquestes matrius $Q$ són tals que

$Q=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& -A^{\mathrm{T}}\end{array}\right)$

on Plantilla:Math i Plantilla:Math són matrius simètriques.

Exemples de matrius simplèctiques

Per a Plantilla:Math, el grup de matrius Plantilla:Math amb determinant Plantilla:Math, les tres Plantilla:Math-matrius simplèctiques són:

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ i $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Relació amb la geometria simplèctica

La geometria simplèctica és l'estudi de les varietats simplèctiques. L'espai tangent a qualsevol punt d'una varietat simplèctica és un espai vectorial simplèctic. Com s'ha vist anteriorment, les transformacions d'un espai vectorial simplèctic que preserven les estructures formen un grup, i aquest grup és Plantilla:Math, depenent de la dimensió de l'espai i del cos sobre el qual està definit.

Un espai vectorial simplèctic és, en si mateix, una varietat simplèctica. Una transformació sota una acció del grup simplèctic és, de certa manera, una versió linealitzada d'un simplectomorfisme, que és una transformació més general que preserva estructures sobre una varietat simplèctica.

Plantilla:Math

El grup simplèctic compacte Plantilla:Math s'acostuma a escriure com Plantilla:Math, assenyalant el fet que és isomorf al grup de matrius simplèctiques unitàries, Plantilla:Math.Plantilla:Sfn Encara que la notació Plantilla:Math és més comuna (de fet, és la que s'utilitza en aquest article), pot generar confusió en el fet que la idea general del grup simplèctic –incloent les formes reals i complexes compactes– es pot representar com Plantilla:Math.

Plantilla:Math és el subgrup de Plantilla:Math (matrius quaterniòniques invertibles) que preserva la forma hermítica estàndard sobre Plantilla:Math:

$⟨x,y⟩={\overline{x}}_1{y}_1+\cdots +{\overline{x}}_n{y}_n$.

És a dir, Plantilla:Math és simplement el grup unitari quaterniònic, Plantilla:Math. De fet, de vegades se l'anomena el grup hiperunitari. A més, Sp(1) és el grup de quaternions amb norma Plantilla:Math, equivalent a [[SU(2)|Plantilla:Math]] i topològicament una [[3-esfera|Plantilla:Math-esfera]] Plantilla:Math.

Notem que Plantilla:Math no és un grup simplèctic en el sentit de la secció anterior: no preserva una forma antisimètrica (Plantilla:Math-bilineal) no degenerada sobre Plantilla:Math (de fet, l'única forma antisimètrica és la forma nul·la). En canvi, és isomorf a un subgrup de Plantilla:Math i, per tant, sí que preserva una forma simplèctica complexa en un espai vectorial de dimensió doble de l'original. L'àlgebra de Lie de Plantilla:Math és una forma real de l'àlgebra de Lie simplèctica complexa Plantilla:Math.

Plantilla:Math és un grup de Lie real amb dimensió (real) Plantilla:Math. És compacte, connex i simplement connex.

L'àlgebra de Lie de Plantilla:Math està determinada per les matrius antihermítiques quaterniòniques, el conjunt de matrius quaterniòniques Plantilla:Math que satisfan

$A+A^{†}=0$

on Plantilla:Math és la matriu transposada conjugada de Plantilla:Math (aquí, hom pren el conjugat quaterniònic). El parèntesi de Lie ve donat pel commutador.

Subgrups destacats

El grup simplèctic compacte Plantilla:Math sorgeix en física quàntica com una simetria sobre els parèntesis de Poisson. Alguns subgrups principals són:

$\mathrm{Sp}(n)\supset \mathrm{Sp}(n-1)$

$\mathrm{Sp}(n)\supset \mathrm{U}(n)$

$\mathrm{Sp}(2)\supset \mathrm{O}(4)$

Recíprocament, és un subgrup d'altres grups:

$\mathrm{SU}(2n)\supset \mathrm{Sp}(n)$

${\mathrm{F}}_4\supset \mathrm{Sp}(4)$

${\mathrm{G}}_2\supset \mathrm{Sp}(1)$

Addicionalment, existeixen els isomorfismes de les àlgebres de Lie $𝔰𝔭(2)=𝔰𝔬(5)$ i $𝔰𝔭(1)=𝔰𝔬(3)=𝔰𝔲(2)$.

Relació entre els grups simplèctics

Tota àlgebra de Lie semisimple complexa té una forma real de descomposició i una forma real compacta. Hom diu que l'àlgebra de Lie és una complexificació de les dues formes.

L'àlgebra de Lie de Plantilla:Math és semisimple, i es denota per $𝔰𝔭(2n,𝐂)$. La seva forma real de descomposició és $𝔰𝔭(2n,𝐑)$ i la seva forma real compacta és $𝔰𝔭(n)$. Aquestes dues àlgebres corresponen als grups de Lie Plantilla:Math i Plantilla:Math respectivament.

Les àlgebres $𝔰𝔭(p,n-p)$, que són les àlgebres de Lie de Plantilla:Math, són la signatura indefinida equivalent a la forma compacta.

Rellevància a la física

Mecànica clàssica

Considerem un sistema de Plantilla:Math partícules, que es comporten segons les equacions de Hamilton, i que llurs posicions a l'espai de fases en un moment donat estan representades pel vector de coordenades canòniques:

$𝐳=(q_1,\dots ,q_n,p_1,\dots ,p_n{)}^T$.

Els elements del grup Plantilla:Math són, en cert sentit, transformacions canòniques sobre aquest vector, és a dir, preserven la forma de les equacions de Hamilton. Si

$𝐙=𝐙(𝐳,t)=(Q_1,\dots ,Q_n,P_1,\dots ,P_n{)}^T$

són les noves coordenades, llavors es té:

$\dot{𝐙}=M(𝐳,t)\dot{𝐳},$

on el punt representa la derivada respecte al temps, i

$M(𝐳,t)\in \mathrm{S}\mathrm{p}(2n,ℝ)$

per a qualssevol Plantilla:Mvar i Plantilla:Math de l'espai de fases.Plantilla:Sfn

Mecànica quàntica

Considerem un sistema de Plantilla:Math partícules amb un estat quàntic que conte informació sobre la seva posició i el seu moment. Aquestes coordenades són variables contínues i, per tant, l'espai de Hilbert, on resideix l'estat quàntic, té dimensió infinita. Aquesta característica fa que l'anàlisi de la situació sigui complicat. Un enfocament alternatiu és considerar l'evolució dels operadors posició i moment sota l'equació de Heisenberg en l'espai de fases.

Construïm un vector de coordenades canòniques,

$\widehat{𝐳}=({\hat{q}}_1,\dots ,{\hat{q}}_n,{\hat{p}}_1,\dots ,{\hat{p}}_n{)}^T$.

La relació de commutació canònica es pot expressar com

$[\widehat{𝐳},{\widehat{𝐳}}^T]=i\hslash \mathrm{\Omega }$

on

$\mathrm{\Omega }=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{𝟎}& I_n\\ -I_n& \mathrm{𝟎}\end{array}\right)$

i Plantilla:Math és la matriu identitat Plantilla:Math.

Moltes situacions físiques només requereixen hamiltonians quadràtics, és a dir, hamiltonians de la forma

$\hat{H}=\frac{1}{2}{\widehat{𝐳}}^{T}K\widehat{𝐳}$

on Plantilla:Math és una matriu simètrica real Plantilla:Math. Resulta que això és una restricció útil, que permet reescriure l'equació de Heisenberg com

$\frac{d\widehat{𝐳}}{dt}=\mathrm{\Omega }K\widehat{𝐳}$.

La solució a aquesta equació ha de predervar la relació de commutació canònica. Es pot demostrar que l'evolució temporal d'aquest sistema és equivalent a una acció del grup simplèctic real, Plantilla:Math, sobre l'espai de fases.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre.
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-web
• Plantilla:Ref-llibre

Vegeu també

• Grup ortogonal
• Grup unitari
• Varietat simplèctica
• Formulació hamiltoniana