Matriu transposada conjugada

En matemàtiques, la matriu transposada conjugada d'una matriu Plantilla:Math de dimensió m per n a entrades complexes és una matriu Plantilla:Math^* de dimensió n per m obtinguda a partir d'Plantilla:Math prenent la seva transposada i després prenent el conjugat complex de cada entrada (és a dir, canviant de signe les parts imaginàries però no les parts reals). Formalment, la matriu transposada conjugada es defineix com:

$({𝐀}^{*}{)}_{ij}=\overline{{𝐀}_{ji}}$

on els subíndexs denoten l'entrada i,j-sima, per 1 ≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ m, i la barra denota una conjugació complexa. (El conjugat complex de $a+bi$, on a i b són reals, és $a-bi$.)

També podem escriure aquesta definició com:

${𝐀}^{*}=(\overline{𝐀}{)}^{\mathrm{T}}=\overline{{𝐀}^{\mathrm{T}}}$

on ${𝐀}^{\mathrm{T}}$ denota la transposada i $\overline{𝐀}$ denota la matriu amb entrades conjugades.

La matriu transposada conjugada d'una matriu Plantilla:Math es pot denotar per qualsevol d'aquests símbols:

• ${𝐀}^{*}$ o ${𝐀}^{\mathrm{H}}$, d'ús comú a l'àlgebra lineal
• ${𝐀}^{†}$, d'ús estès a mecànica quàntica
• ${𝐀}^{+}$, encara que aquest símbol s'usa més freqüentment a l'hora de denotar la pseudoinversa d'una matriu

En alguns contexts, ${𝐀}^{*}$ denota la matriu amb entrades conjugades, i llavors la transposada conjugada s'escriu ${𝐀}^{*\mathrm{T}}$ o ${𝐀}^{\mathrm{T}*}$.

Exemple

Si

$𝐀=\left[\begin{array}{ccc}3+i& 5& -2i\\ 2-2i& i& -7-13i\end{array}\right]$

llavors

${𝐀}^{*}=\left[\begin{array}{cc}3-i& 2+2i\\ 5& -i\\ 2i& -7+13i\end{array}\right]$

Observacions

Una matriu quadrada Plantilla:Math amb entrades $a_{ij}$ s'anomena:

• Hermítica o autoadjunta si Plantilla:Math = Plantilla:Math^*, és a dir, $a_{ij}=\overline{a_{ji}}$ .
• Antihermítica si Plantilla:Math = −Plantilla:Math^*, és a dir, $a_{ij}=-\overline{a_{ji}}$ .
• Normal si Plantilla:Math^*Plantilla:Math = Plantilla:Math^*.
• Unitària si Plantilla:Math^* = Plantilla:Math^-1.

Encara que Plantilla:Math no sigui quadrada, les dues matrius Plantilla:Math^*Plantilla:Math i Plantilla:Math^* són totes dues hermítiques, i de fet són semidefinides positives.

Per trobar la transposada conjugada d'una matriu Plantilla:Math a entrades reals, n'hi ha propu amb trobar-ne la transposada, ja que el conjugat complex d'un nombre real és el mateix nombre real.

Motivació

Una possible motivació per la definició del concepte de transposada conjugada rau en el fet que els nombres complexos es poden representar mitjançant matrius reals 2×2, amb les operacions habituals d'addició i producte matricials:

$a+ib\mapsto \left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right).$

És a dir, estem representant cada nombre complex z per la matriu real 2×2 de la transformació lineal associada al diagrama d'Argand (vist com l'espai vectorial real ℝ²).

Una matriu m per n de nombres complexos pot representar-se, de forma anàloga, per una matriu 2m per 2n a entrades reals. La transposada conjugada sorgeix de manera natural com a simple transposició d'aquesta matriu, que pot visualitzar-se de nou com una matriu n per m a entrades complexes.

Propietats

• (Plantilla:Math + Plantilla:Math)^* = Plantilla:Math^* + Plantilla:Math^* per dues matrius qualssevol Plantilla:Math i Plantilla:Math de les mateixes dimensions.
• (r Plantilla:Math)^* = r^*Plantilla:Math^* per qualsevol complex r i qualsevol matriu Plantilla:Math. Aquí, r^* denota el conjugat complex de r.
• (Plantilla:Math)^* = Plantilla:Math^*Plantilla:Math^* per qualsevol matriu Plantilla:Math m per n i qualsevol matriu Plantilla:Math n per p. Notem que s'inverteix l'ordre dels factors.
• (Plantilla:Math^*)^* = Plantilla:Math per qualsevol matriu Plantilla:Math.
• Si Plantilla:Math és una matriu quadrada, llavors det (Plantilla:Math^*) = (det Plantilla:Math)^* i tr (Plantilla:Math^*) = (tr Plantilla:Math)^*
• Plantilla:Math és invertible si i només si Plantilla:Math^* és invertible, i en cas afirmatiu, (Plantilla:Math^*)⁻¹ = (Plantilla:Math⁻¹)^*.
• Els valors propis de Plantilla:Math^* són els conjugats complexos dels valors propis de Plantilla:Math.
• $⟨𝐀𝐱,𝐲⟩=⟨𝐱,{𝐀}^{*}𝐲⟩$ per qualsevol matriu Plantilla:Math m per n, qualsevol vector x de ℂⁿ i qualsevol vector y de ℂ^m. Aquí, $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ denota el producte escalar habitual a ℂ^m i ℂⁿ.

Generalitzacions

La darrera propietat que hem vist ens mostra que si visualitzem Plantilla:Math com una transformació lineal entre els espais de Hilbert ℂⁿ i ℂ^m, llavors la matriu Plantilla:Math^* correspon a l'operador adjunt de Plantilla:Math. Així doncs, el concepte d'operador adjunt entre espais de Hilbert es pot veure com una generalització del concepte de matriu transposada conjugada.

Una altra generalització: suposem que Plantilla:Math és una aplicació lineal d'un espai vectorial complex Plantilla:Math a un altre, Plantilla:Math. Llavors té sentit definir l'aplicació lineal conjugada i l'aplicació lineal transposada, i podem prendre la transposada conjugada de Plantilla:Math com la conjugada complexa de la transposada de Plantilla:Math. Així tenim una correspondència entre l'espai dual de Plantilla:Math i el conjugat dual de Plantilla:Math.

Vegeu també

• Operador adjunt
• Matriu d'adjunts

Enllaços externs

• Plantilla:Springer
• Plantilla:MathWorld
• Plantilla:Planetmath reference