Identitat de Dixon
En matemàtiques, la identitat de Dixon (o el teorema de Dixon o la fórmula de Dixon) és una de les diverses identitats diferents però estretament relacionades demostrades per A. C. Dixon, algunes que involucren sumes finites de productes de tres coeficients binomials, i algunes que avaluen una suma hipergeomètrica. Aquestes famoses identitats s'obtenen a partir del teorema mestre de MacMahon, i ara es poden demostrar rutinàriament mitjançant algorismes informàtics Plantilla:Harv.
Declaracions
La identitat original, de Plantilla:Harv, és
Una generalització, també de vegades anomenada identitat de Dixon, és
on a, b, i c són enters no-negatius Plantilla:Harv. La suma per l'esquerra es pot escriure com una sèrie hipergeomètrica ben avinguda
i la identitat segueix com un cas limitant (quan a tendeix a un nombre enter) del teorema de Dixon que avalua una ben ponderada sèrie hipergeomètrica ₃F₂ generalitzada a 1, de Plantilla:Harv:
Això no passa a Re(1 + Plantilla:Fraca − b − c) > 0. Quan c tendeix a −∞ es redueix a la fórmula de Kummer per a la funció hipergeomètrica ₂F1 a −1. El teorema de Dixon es pot deduir de l'avaluació de la integral de Selberg.
q-anàlegs
Un q-anàleg de la fórmula de Dixon per a la sèrie hipergeomètrica bàsica en termes del símbol q-Pochhammer és donat per
on |qa1/2/bc| < 1.