Identitat de Mingarelli

En el camp de les equacions diferencials ordinàries, la identitat de Mingarelli és un teorema que proporciona criteris per a l'oscil·lació i la no-oscil·lació de solucions d'algunes equacions diferencials lineals en el domini real. Estén la identitat de Picone de dues a tres o més equacions diferencials de segon ordre.

La identitat

Considerem les $n$ solucions del següent sistema (desacoblat) d'equacions diferencials lineals de segon ordre durant l'interval $t$ $[a,b]$:

$(p_i(t)x_i^{\prime }{)}^{\prime }+q_i(t)x_i=0,x_i(a)=1,x_i^{\prime }(a)=R_i$ on $i=1,2,\dots ,n$.

Fem que $\mathrm{\Delta }$ denoti l'operador de diferència cap endavant, és a dir,

$\mathrm{\Delta }{x}_i=x_{i+1}-x_i.$

L'operador de diferència de segon ordre es troba iterant l'operador de primer ordre com a

${\mathrm{\Delta }}^2(x_i)=\mathrm{\Delta }(\mathrm{\Delta }{x}_i)=x_{i+2}-2x_{i+1}+x_i,$,

amb una definició similar per a les iteracions més altes. Deixant de banda la variable independent $t$ per conveniència, i suposant que $x_i(t)\ne 0$ en $(a,b]$, hi ha la identitat:Plantilla:Sfn

$\begin{array}{cc}{x}_{n-1}^2{\mathrm{\Delta }}^{n-1}(p_1{r}_1){]}_a^b& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}(x_{n-1}^{\prime }{)}^2{\mathrm{\Delta }}^{n-1}(p_1)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}_{n-1}^2{\mathrm{\Delta }}^{n-1}(q_1)-\sum _{k=0}^{n-1}C(n-1,k)(-1{)}^{n-k-1}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{p}_{k+1}{W}^2(x_{k+1},x_{n-1})/x_{k+1}^2,\end{array}$

on

• $r_i=x_i^{\prime }/x_i$ és la derivada logarítmica,
• $W(x_i,x_j)=x_i^{\prime }{x}_j-x_i{x}_j^{\prime }$, és el determinant Wronskià,
• $C(n-1,k)$ són coeficients binomials.

Quan $n=2$, aquesta igualtat es redueix a la identitat de Picone.

Aplicacions

La identitat anterior condueix ràpidament al següent teorema de comparació per a tres equacions diferencials lineals,Plantilla:Sfn que amplia el clàssic teorema de comparació de Sturm-Picone.

Fem que $p_i$, $q_i$ $i=1,2,3$, siguin funcions contínues de valor real en l'interval $[a,b]$ i fem que:

1. $(p_1(t)x_1^{\prime }{)}^{\prime }+q_1(t)x_1=0,x_1(a)=1,x_1^{\prime }(a)=R_1$
2. $(p_2(t)x_2^{\prime }{)}^{\prime }+q_2(t)x_2=0,x_2(a)=1,x_2^{\prime }(a)=R_2$
3. $(p_3(t)x_3^{\prime }{)}^{\prime }+q_3(t)x_3=0,x_3(a)=1,x_3^{\prime }(a)=R_3$

siguin tres equacions diferencials lineals homogènies de segon ordre en forma autoadjunta, on

• $p_i(t)>0$ per a cada $i$, i per a tot $t$ en $[a,b]$, i
• $R_i$ són nombres reals arbitraris.

Suposem que per a tot $t$ en $[a,b]$ tenim,

${\mathrm{\Delta }}^2(q_1)\ge 0$,

${\mathrm{\Delta }}^2(p_1)\le 0$,

${\mathrm{\Delta }}^2(p_1(a)R_1)\le 0$.

Llavors, si $x_1(t)>0$ en $[a,b]$ i $x_2(b)=0$, llavors qualsevol solució $x_3(t)$ té almenys un zero en $[a,b]$.

Bibliografia

• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-publicació