Identitats de Rogers-Ramanujan

En matemàtiques, i específicament en combinatòria analítica, les Identitats de Rogers–Ramanujan son dues igualtats relatives a les sèries hipergeomètriques bàsiques, descobertes i demostrades per primera vegada per Leonard James Rogers el 1894.Plantilla:Sfn Van ser redescobertes (sense demostració) per Srinivasa Ramanujan una mica després del 1913. Ramanujan no donava demostració, però va reeditar l'article de Rogers el 1917 i van publicar una demostració conjuntament el 1919.Plantilla:Sfn Issai Schur les va redescobrir i demostrar de forma independent el 1917.

Enunciat

Les identitats de Rogers- Ramanujan són:

$G (q) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{q^{n^{2}}}{(q; q)_{n}} = \frac{1}{(q; q^{5})_{\infty} (q^{4}; q^{5})_{\infty}} = 1 + q + q^{2} + q^{3} + 2 q^{4} + 2 q^{5} + 3 q^{6} + \dots$ (sèrie A003114 del OEIS).
$H (q) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{q^{n^{2} + n}}{(q; q)_{n}} = \frac{1}{(q^{2}; q^{5})_{\infty} (q^{3}; q^{5})_{\infty}} = 1 + q^{2} + q^{3} + q^{4} + q^{5} + 2 q^{6} + \dots$ (sèrie A003106 del OEIS).

On, $(\cdot; \cdot)_{n}$ denota el símbol q-Pochhammer.

Que també es poden expressar de la següent forma:Plantilla:Sfn

$1 - \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{q^{m^{2}}}{(1 - q) (1 - q^{2}) \dots (1 - q^{m})} = \prod_{m = 0}^{\infty} \frac{1}{(1 - q^{5 m + 1}) (1 - q^{5 m + 4})}$
$1 - \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{q^{m^{2} + m}}{(1 - q) (1 - q^{2}) \dots (1 - q^{m})} = \prod_{m = 0}^{\infty} \frac{1}{(1 - q^{5 m + 2}) (1 - q^{5 m + 3})}$