Indeterminació (límit)

En càlcul, indeterminació o límit indeterminat és una expressió que s'utilitza a l'hora d'avaluar un límit quan no es pot saber a priori quin serà el resultat d'aquest. Tot i això, utilitzant les propietats dels límits es poden arribar a resoldre aquestes indeterminacions.

Idea intuïtiva

Per tal de comprendre què significa que un límit és indeterminat, es pot observar el següent exemple. Tenim, en primer lloc, que Plantilla:Equació És a dir, que sigui quin sigui el valor de $a\in ℝ$, si el dividim per infinit donarà zero. Si aïllem la $a$, veiem que Plantilla:Equació Com hem vist abans, qualsevol nombre compleix la relació. Per tant, en multiplicar l'infinit per zero també podem obtenir qualsevol nombre, i no podem saber quin serà sense efectuar abans algunes operacions.

Indeterminacions

Seguint el procediment que hem explicat anteriorment, podem veure que hi ha fins a 7 indeterminacions, que són les següents: Plantilla:Equació En tots els casos es pot arribar a resoldre el límit que ens hi condueix emprant un mètode determinat, que és diferent en cada cas.

Resolució d'indeterminacions

A continuació es mostren diferents procediments que es poden utilitzar per resoldre límits que condueixen a una indeterminació.

Cas infinit dividit d'infinit

Suposem que tenim un límit tal que Plantilla:Equació

Terme director

Si tenim un límit que tendeix a infinit i que consisteix en la divisió de dos polinomis, podem aplicar terme director per resoldre'l.

Suposem que tenim dos polinomis tals que $P(x)=a_0+a_{1}x+\dots +a_n{x}^n$ i $Q(x)=b_0+b_{1}x+\dots +b_m{x}^m$. Llavors, el límit Plantilla:Equació Plantilla:Demostració Per exemple, si hem de resoldre el següent límit: Plantilla:Equació Aplicant terme director Plantilla:Equació

Regla de l'Hôpital

La regla de l'Hôpital és vàlida per resoldre límits del tipus infinit dividit d'infinit. El que diu la regla és el següent: Plantilla:Equació Per exemple, podem resoldre el següent límit: Plantilla:Equació

Cas zero dividit per zero

Suposem que tenim un límit tal que Plantilla:Equació Aquests límits es resolen normalment utilitzant la regla de l'Hôpital. Tot i això en alguns casos no serveix, i en d'altres no és necessari.

Utilitzant la regla de l'Hôpital

La regla de l'Hôpital diu el següent Plantilla:Equació Que també és aplicable quan el límit tendeix a infinit.

Anem a veure com s'aplica amb un exemple. Volem calcular el següent límit Plantilla:Equació En alguns casos farà falta aplicar la regla de l'Hôpital més d'una vegada. Per exemple, quan resolem el següent límit: Plantilla:Equació Continua sent indeterminat encara que hem aplicat una vegada la regla. Com veiem, però, podem tornar a aplicar-la: Plantilla:Equació

Observació

Cal fixar-se que el resultat del límit sigui igual a $\frac{0}{0}$, ja que aplicar la regla de l'Hôpital en altres casos conduirà a límits diferents de l'original.

Cas zero per infinit

Aquesta indeterminació es resol transformant el límit en un cas de zero dividit de zero o en un cas infinit dividit per infinit. Un cop fet això, caldrà resoldre el nou límit aplicant la regla de l'Hôpital.

Si per exemple tenim el límit: Plantilla:Equació Llavors podem obtenir aquests dos límits resolubles segons la regla de l'Hôpital: Plantilla:Equació Suposem que volem resoldre el següent límit: Plantilla:Equació Aplicant la regla de l'Hôpital: Plantilla:Equació