Integral de Frullani

Les integrals de Frullani són un tipus específic d'integral impròpia que rep el nom del matemàtic italià Giuliano Frullani,Plantilla:Sfn qui les va esmentar per primera vegada en una carta el 1821 i publicada el 1828.

Les integrals són de la forma

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x$

on $f(x)$ és una funció sobre $x\ge 0$, i el límit de $f(x)$ existeix a $\mathrm{\infty }$.

La següent fórmula per a la seva solució general es compleix en determinades condicions:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x=(f(\mathrm{\infty })-f(0))\ln \frac{a}{b}$

Demostració

Una demostració simple de la fórmula es pot arribar expandint l'integrand en una integral, i després utilitzant el teorema de Fubini per intercanviar les dues integrals:

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\left[\frac{f(xt)}{x}\right]}_{t=b}^{t=a}dx\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{b}{\overset{a}{\int }}{f}^{\prime }(xt)dtdx\\ & =\underset{b}{\overset{a}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}^{\prime }(xt)dxdt\\ & =\underset{b}{\overset{a}{\int }}{\left[\frac{f(xt)}{t}\right]}_{x=0}^{x=\mathrm{\infty }}dt\\ & =\underset{b}{\overset{a}{\int }}\frac{f(\mathrm{\infty })-f(0)}{t}dt\\ & =(f(\mathrm{\infty })-f(0))(\ln (a)-\ln (b))\\ & =(f(\mathrm{\infty })-f(0))\ln \left(\frac{a}{b}\right)\\ \end{array}$

Tingueu en compte que la integral de la segona línia anterior s'ha pres sobre l'interval $[b,a]$, i no sobre $[a,b]$.

Fórmules de Frullani

La primera fórmula de Frullani

Si $f(x)\in C[0,+\mathrm{\infty })$ i $\mathrm{\forall }A>0\mathrm{\exists }\underset{A}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(x)}{x}dx$, llavors la fórmula següent és vàlida:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx=f(0)\ln \left(\frac{\beta }{\alpha }\right)(\alpha >0,\beta >0)$

Demostració:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\to +0}\left(\underset{A}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx\right)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\to +0}\left(\underset{A}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\alpha x)}{x}dx-\underset{A}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\beta x)}{x}dx\right)=$

$=\{\mathrm{\forall }A>0\mathrm{\exists }\underset{A}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(x)}{x}dx\Rightarrow \underset{A}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(x)}{x}dx=F(\mathrm{\infty })-F(A)\Rightarrow \underset{A}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\alpha x)}{x}dx=\underset{\alpha A}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(x)}{x}dx=F(\mathrm{\infty })-F(\alpha A)\}$ $=$

$=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\to +0}(F(\mathrm{\infty })-F(\alpha A)-F(\mathrm{\infty })+F(\beta A))=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\to +0}(F(\beta A)-F(\alpha A))=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\to +0}\left(\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{f(Ax)}{x}dx\right)=$

$=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\to +0}(f(A\xi )\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{1}{x}dx)$ $=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\to +0}(f(A\xi )(\ln (\beta )-\ln (\alpha )\left)\right)$ $=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\to +0}(f(A\xi ))\ln \left(\frac{\beta }{\alpha }\right)=$

$=\{\xi \in [\alpha ,\beta ]\Rightarrow \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\to +0}A\xi =0,f(x)\in C[0,+\mathrm{\infty })\Rightarrow \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{A\to +0}f(A\xi )=f(0)\}=f(0)\ln \left(\frac{\beta }{\alpha }\right).$

Segona fórmula de Frullani

Si $f(x)\in C[0,+\mathrm{\infty })$ i $\mathrm{\exists }\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)<+\mathrm{\infty }$ aleshores, la fórmula següent és vàlida:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx=(f(0)-f(+\mathrm{\infty }))\ln \left(\frac{\beta }{\alpha }\right)(\alpha >0,\beta >0)$

Demostració:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to 0,\mathrm{\Delta }\to \mathrm{\infty }}(\underset{ϵ}{\overset{A}{\int }}\frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx+\underset{A}{\overset{\mathrm{\Delta }}{\int }}\frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx)$$=$

$=\left\{\rho \right(ϵ,A)<\mathrm{\infty },\frac{f(x)}{x}\in C[ϵ,A]\Rightarrow \underset{ϵ}{\overset{A}{\int }}\frac{f(x)}{x}dx=F(A)-F(ϵ)\Rightarrow \underset{ϵ}{\overset{A}{\int }}\frac{f(\alpha x)}{x}dx=F(\alpha A)-F(\alpha ϵ)\}$$=$

$=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to 0,\mathrm{\Delta }\to +\mathrm{\infty }}(F(\alpha A)-F(\alpha ϵ)-F(\beta A)+F(\beta ϵ)+\underset{A}{\overset{\mathrm{\Delta }}{\int }}\frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx)=$

$=\left\{\rho \right(A,\mathrm{\Delta })<\mathrm{\infty },\frac{f(x)}{x}\in C[A,\mathrm{\Delta }]\Rightarrow \underset{A}{\overset{\mathrm{\Delta }}{\int }}\frac{f(x)}{x}dx=F(\mathrm{\Delta })-F(A)\Rightarrow \underset{A}{\overset{\mathrm{\Delta }}{\int }}\frac{f(\alpha x)}{x}dx=F(\alpha \mathrm{\Delta })-F(\alpha A)\}=$

$=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to +0,\mathrm{\Delta }\to +\mathrm{\infty }}(F(\alpha A)-F(\alpha ϵ)-F(\beta A)+F(\beta ϵ)+F(\alpha \mathrm{\Delta })-F(\alpha A)-F(\beta \mathrm{\Delta })+F(\beta A))=$

$=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to +0}(F(\beta ϵ)-F(\alpha ϵ))-\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\mathrm{\Delta }\to +\mathrm{\infty }}(F(\beta \mathrm{\Delta })-F(\alpha \mathrm{\Delta }))=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to +0}\left(\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{f(ϵx)}{x}dx\right)-\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\mathrm{\Delta }\to +\mathrm{\infty }}\left(\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{f(\mathrm{\Delta }x)}{x}dx\right)=$

$=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to +0}(f(ϵ\eta )\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{1}{x}dx)-\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\mathrm{\Delta }\to +\mathrm{\infty }}(f(\mathrm{\Delta }\mu )\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{1}{x}dx)$ $=(\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to +0}f(ϵ\eta )-\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\mathrm{\Delta }\to +\mathrm{\infty }}f(\mathrm{\Delta }\mu ))(\ln (\beta )-\ln (\alpha ))$ $=$

$=\{\eta ,\mu \in [\alpha ,\beta ]\Rightarrow \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to +0}ϵ\eta =0,\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\mathrm{\Delta }\to +\mathrm{\infty }}\mathrm{\Delta }\mu =+\mathrm{\infty },f(x)\in C[0,+\mathrm{\infty }]\Rightarrow \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to +0}f(ϵ\eta )=f(0),\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\mathrm{\Delta }\to +\mathrm{\infty }}f(\mathrm{\Delta }\mu )=f(+\mathrm{\infty })\}=$

$=(f(0)-f(+\mathrm{\infty }))\ln \left(\frac{\beta }{\alpha }\right).$

La tercera fórmula de Frullani

Si $f(x)\in C(0,+\mathrm{\infty })$ i $\mathrm{\forall }A>0\mathrm{\exists }\underset{0}{\overset{A}{\int }}\frac{f(x)}{x}dx$ и $\mathrm{\exists }\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)<+\mathrm{\infty }$ aleshores, la fórmula següent és vàlida:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx=f(+\mathrm{\infty })\ln \left(\frac{\alpha }{\beta }\right)(\alpha >0,\beta >0)$

Aplicacions

La fórmula es pot utilitzar per derivar una representació integral per al logaritme natural $\ln (x)$ amb $f(x)=e^{-x}$ i $a=1$:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-x}-e^{-bx}}{x}\mathrm{d}x=(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{e^n}-e^0)\ln (\frac{1}{b})=\ln (b)$

o per derivar $f(x)=\arctan x$ amb $a,b>0$:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\arctan (ax)-\arctan (bx)}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}\ln \frac{a}{b}$

La fórmula també es pot generalitzar de diverses maneres diferents.

Exemples

Gràcies a la integral de Frullani i amb l'ajut de transformacions elementals, diferenciació i integració respecte a un paràmetre, es poden reduir moltes altres integrals impròpies.

• $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\frac{\sin (\alpha x)}{\alpha x}-\frac{\sin (\beta x)}{\beta x}}{x}dx=\ln \left(\frac{\beta }{\alpha }\right)$

• $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (\alpha x+m)-\sin (\beta x+m)}{x}dx=\sin (m)\cdot \ln \left(\frac{\beta }{\alpha }\right)$

• $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos (\alpha x+m)-\cos (\beta x+m)}{x}dx=\cos (m)\cdot \ln \left(\frac{\beta }{\alpha }\right)$

• $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\frac{m}{n+\alpha x}-\frac{m}{n+\beta x}}{x}dx=\frac{m}{n}\ln \left(\frac{\beta }{\alpha }\right)$

• $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\frac{arctg(-\alpha x)}{\alpha x}-\frac{arctg(-\beta x)}{\beta x}}{x}dx=\ln \left(\frac{\alpha }{\beta }\right)$

Bibliografia

• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-llibre
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació
• Plantilla:Ref-publicació