Integral de Goodwin-Staton

Gràfic 2D de la integral de Goodwin-Staton

Gràfic 3D de la integral de Goodwin-Staton

En matemàtiques, la integral de Goodwin-Staton es defineix com:

$G(z)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-t^2}}{t+z}dt$

que satisfà la següent equació diferencial no lineal de tercer ordre:

$4w(z)+8z\frac{d}{dz}w(z)+(2+2z^2)\frac{d^2}{d{z}^2}w(z)+z\frac{d^3}{d{z}^3}w\left(z\right)=0$

Simetria

$G(-z)=-G(z)$

$\begin{array}{cc}G(z)=& (1-\gamma -\ln (z^2)-i\mathrm{csgn}(i{z}^2)\pi +\frac{2i}{\sqrt{\pi }}z\\ & +(-2+\gamma +\ln (z^2)+i\mathrm{csgn}(i{z}^2)\pi )z^2-\frac{4i}{3\sqrt{\pi }}{z}^3\\ & +(\frac{5}{4}-\frac{1}{2}\gamma -\frac{1}{2}\ln (z^2)-\frac{1}{2}i\mathrm{csgn}(i{z}^2)\pi )z^4+O(z^5))\end{array}$

Relació amb altres funcions

La funció G de Meijer

• $G(z)=\frac{1}{2}\frac{G_{2,3}^{3,2}\left(z^2\right|{}_{1/2,0,0}^{0,1/2})}{\pi }$

La funció exponencial i la funció d'error

• $G\left(z\right)={\mathrm{e}}^{-z^2}+𝐸𝑖(1,-z^2){\mathrm{e}}^{-z^2}+{\mathrm{e}}^{-z^2}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(iz\right)$

• $G\left(z\right)={\mathrm{e}}^{-z^2}+\mathrm{U}(1,1,-z^2){\mathrm{e}}^{z^2}{\mathrm{e}}^{-z^2}+\frac{2i{\mathrm{e}}^{-z^2}z\mathrm{M}(1/2,3/2,z^2)}{\sqrt{\pi }}$
• $G\left(z\right)={\mathrm{e}}^{-z^2}+𝐸𝑖(1,-z^2){\mathrm{e}}^{-z^2}+\frac{2i{\mathrm{e}}^{-z^2}z𝐻𝑒𝑢𝑛𝐵(1,0,1,0,\sqrt{z^2})}{\sqrt{\pi }}$
• $G\left(z\right)={\mathrm{e}}^{-z^2}+𝐸𝑖(1,-z^2){\mathrm{e}}^{-z^2}+\frac{z{\mathrm{e}}^{-z^2}(-i𝑒𝑟𝑓𝑐\left(\sqrt{-z^2}\right)+i)}{\sqrt{-z^2}}$

La funció de Laguerre

• $G\left(z\right)={\mathrm{e}}^{-z^2}+𝐸𝑖(1,-z^2){\mathrm{e}}^{-z^2}+i{\mathrm{e}}^{-z^2}\sqrt{\pi }z;𝐿(-1/2,1/2,z^2)$

Desenvolupament de la sèrie

• $G(z)=10z^{-1}-50z^{-2}-\frac{1000}{3}\frac{z^2-1}{z^3}+2500\frac{z^2-1}{z^4}+10000\frac{2-2z^2+z^4}{z^5}-\frac{250000}{3}\frac{2-2z^2+z^4}{z^6}-\frac{5000000}{21}\frac{-6+6z^2-3z^4+z^6}{z^7}+\frac{6250000}{3}\frac{-6+6z^2-3z^4+z^6}{z^8}+\frac{125000000}{27}\frac{24-24z^2+12z^4-4z^6+z^8}{z^9}-\frac{125000000}{3}\frac{24-24z^2+12z^4-4z^6+z^8}{z^{10}}$
• $G(z)=(1-\gamma -\ln \left(z^2\right)-i𝑐𝑠𝑔𝑛\left(i{z}^2\right)\pi +\frac{2i}{\sqrt{\pi }}z+(-2+\gamma +\ln \left(z^2\right)+i𝑐𝑠𝑔𝑛\left(i{z}^2\right)\pi )z^2+\frac{-4/3i}{\sqrt{\pi }}{z}^3+(\frac{5}{4}-1/2\gamma -1/2\ln \left(z^2\right)-1/2i𝑐𝑠𝑔𝑛\left(i{z}^2\right)\pi )z^4+O\left(z^5\right))$

Bibliografia

• Plantilla:Cite journal
• F. W. J. Olver, Werner Rheinbolt, Academic Press, 2014, Mathematics,Asymptotics and Special Functions, 588 pages, Plantilla:ISBN gbook

Enllaços externs

• The Generalized Goodwin-Station Integral Plantilla:En
• Error Functions, Dawson's and Fresnel Integrals Plantilla:En
• The generalized Goodwin-Staton integral Plantilla:En
• Analytical and Numerical Aspects of a Generalization of the Complementary Error Function Plantilla:En