Integral de la secant al cub

Una de les integrals indefinides més difícils de calcular és

$\int {\sec }^{3}xdx=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln |\sec x+\tan x|+C.$

Obtenció

Aquesta primitiva es pot calcular emprant la integració per parts, tal com segueix:

$\int {\sec }^{3}xdx=\int udv$

on

$\begin{array}{cc}u& =\sec x,\\ dv& ={\sec }^{2}xdx,\\ du& =\sec x\tan xdx,\\ v& =\tan x.\end{array}$

Llavors

$\begin{array}{cc}\int {\sec }^{3}xdx& =\int udv\\ & =uv-\int vdu\\ & =\sec x\tan x-\int \sec x{\tan }^{2}xdx\\ & =\sec x\tan x-\int \sec x({\sec }^{2}x-1)dx\\ & =\sec x\tan x-\int {\sec }^{3}xdx+\int \sec xdx.\end{array}$

Sumant $\int {\sec }^{3}xdx$ als dos cantons de la igualtat:

$\begin{array}{cc}2\int {\sec }^{3}xdx& =\sec x\tan x+\int \sec xdx\\ & =\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|+C.\end{array}$

Dividint els dos cantons entre 2 s'obté el resultat que s'ha presentat al començament.

Potències de la secant d'exponent senar més gran que 3

Igual que la integració per parts de més amunt ha reduït la integral de la secant al cub a la integral de la secant a la primera potència, d'igual manera un procés similar redueix la integral de la secant elevada a potències senars més grans que 3 a potències més petites. Aquesta és la fórmula de Reducció de la Secant que segueix:

$\int {\sec }^{n}cxdx=\frac{{\sec }^{n-2}cx\tan cx}{c(n-1)}+\frac{n-2}{n-1}\int {\sec }^{n-2}cxdx\text{ (per }n\ne 1\text{)}$

Alternativament:

$\int {\sec }^{n}cxdx=\frac{{\sec }^{n-1}cx\sin cx}{c(n-1)}+\frac{n-2}{n-1}\int {\sec }^{n-2}cxdx\text{ (per }n\ne 1\text{)}$

Vegeu també

• Taula d'integrals